BZOJ 3097 Hash Killer I
3097: Hash Killer I
Description
這天天氣不錯，hzhwcmhf神犇給VFleaKing出了一道題： 給你一個長度為N的字符串S，求有多少個不同的長度為L的子串。 子串的定義是S[l]、S[l + 1]、... S[r]這樣連續的一段。 兩個字符串被認為是不同的當且僅當某個位置上的字符不同。
VFleaKing一看覺得這不是Hash的裸題麽！於是果斷寫了哈希 + 排序。 而hzhwcmhf神犇心裏自然知道，這題就是後綴數組的height中 < L的個數 + 1，就是後綴自動機上代表的長度區間包含L的結點個數，就是後綴樹深度為L的結點的數量。 但是hzhwcmhf神犇看了看VFleaKing的做法表示非常汗。於是想卡掉他。
VFleaKing使用的是字典序哈希，其代碼大致如下： u64 val = 0; for (int i = 0; i < l; i++) val = val * base + s[i] - ‘a‘; u64是無符號int64，範圍是[0, 2^64)。VFleaKing讓val自然溢出。 base是一個常量，VFleaKing會根據心情決定其值。 VFleaKing還求出來了base ^ l，即base的l次方，這樣就能方便地求出所有長度為L的子串的哈希值。 然後VFleaKing給哈希值排序，去重，求出有多少個不同的哈希值，把這個數作為結果。 其算法的C++代碼如下：
typedef unsigned long long u64;
const int MaxN = 100000;
inline int hash_handle(const char *s, const int &n, const int &l, const int &base) { u64 hash_pow_l = 1; for (int i = 1; i <= l; i++) hash_pow_l *= base;
int li_n = 0; static u64 li[MaxN];
u64 val = 0; for (int i = 0; i < l; i++) val = val * base + s[i] - ‘a‘; li[li_n++] = val; for (int i = l; i < n; i++) { val = val * base + s[i] - ‘a‘; val -= (s[i - l] - ‘a‘) * hash_pow_l; li[li_n++] = val; }
sort(li, li + li_n); li_n = unique(li, li + li_n) - li; return li_n; }
hzhwcmhf當然知道怎麽卡啦！但是他想考考你。
Input
沒有輸入。
Output
你需要輸出一組數據使得VFleaKing的代碼WA掉。我們會使用Special Judge檢查你的結果的正確性。 輸出文件共兩行。 第一行兩個用空格隔開的數n、l。 第二行是一個長度為n的字符串。只能包含‘a‘~‘z‘。 需要保證1 <= n <= 10^5, 1 <= l <= n， 不符合以上格式會WA。 不要有多余字符，很可能導致你WA。
Sample Input
沒有Sample Output
8 4 buaabuaa （當然這個輸出是會WA的）HINT
orz 波蘭人 & fotile96 & sillycross
Source
VFleaKing & hzhwcmhf
這是一個很強大的系列。
3097: Hash Killer I base看心情，unsigned long long自然溢出 Submit: 951 Solved: 356
3098: Hash Killer II base看心情，MOD1000000007 Submit: 1597 Solved: 838
3099: Hash Killer III base看心情，MOD雙組隨機質數 Submit: 605 Solved: 0
昨天做了3098，當時直接把N、L開大，輸出100000個隨機數，就卡了過去。本人堅信與3097是相似的，於是重復交了一波，全部WA了。本人表示很傷心。
最後發現（以下來自http://blog.csdn.net/regina8023/article/details/43112899）：
非常神奇的構造題。
首先明白兩點：
1.卡hash的關鍵在於構造兩個不同的串對應的hash值相同。
2.爆u64相當於對2^64這個數取模。
如果base是偶數，那麽a.........aaa(>64個a)與ba.......aa(a的數量為前面那麽串a的數量-1)，這兩個串長度相同，hash值相同，顯然串是不同的，這樣就卡掉了。
如果base是奇數，就比較麻煩了。
看vfk的做法吧：
如果base是奇數的話，現在只考慮a、b兩個字母。
a \ b表示a能整除b。（orz 具體數學）
設數學上的函數not(S)表示把字符串S中每個位置的‘a‘變成‘b‘，把‘b‘變成‘a‘後形成的字符串。比如not("ababaa") = "bababb"
strA . strB代表字符串串聯。如"娃" . "哈哈" = "娃哈哈"
|str|表示字符串str的長度。
設字符串序列{orzstr[i]}，orzstr[1] = "a", orzstr[i] = orzstr[i - 1] . not(orzstr[i - 1])
那麽|orzstr[i]| = |orzstr[i - 1]| * 2。顯然這是等比數列，得到：|orzstr[i]| = |orzstr[1]| . 2 ^ (i - 1) = 2 ^ (i - 1)
設hash(str)為str的哈希值。
則：
hash(orzstr[i]) = hash(orzstr[i - 1]) * base ^ |not(orzstr[i - 1])| + hash(not(orzstr[i - 1]))
= hash(orzstr[i - 1]) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(not(orzstr[i - 1]))
hash(not(orzstr[i])) = hash(not(orzstr[i - 1])) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(orzstr[i - 1])
兩式相減：
hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))
= (hash(orzstr[i - 1]) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(not(orzstr[i - 1]))) - (hash(not(orzstr[i - 1])) * base ^ (2 ^ (i - 2)) + hash(orzstr[i - 1]))
= (hash(orzstr[i - 1]) - hash(not(orzstr[i - 1]))) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)
這讓我們發現，hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))似乎是個神奇的東西。而我們的目的實際上是要找兩個字符串strA, strB使得
hash(strA) % 2^64 = hash(strB) % 2^64
相當與
2^64 \ hash(strA) - hash(strB)
設數列{f[i]}，f[i] = hash(orzstr[i]) - hash(not(orzstr[i]))
這樣就有：
f[i] = f[i - 1] * (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1)
還是有點不爽啊……我們再設數列{g[i]}，g[i] = base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1
於是能寫成：
f[i] = f[i - 1] * g[i - 1]
則f[i] = f[1] * g[1] * g[2] * ... * g[i - 1]
然後發現一個神奇的事情？
base是奇數，則base的任意正整數次方也一定是奇數。所以對於任意的i必有g[i]為偶數，所以2 ^ (i - 1) \ f[i]
問題是不是結束了呢……發現沒有……這樣的話我們要使2 ^ 64 \ f[i]，至少得讓i = 65……然後發現|orzstr[65]|是個天文數字。
發現我們剛才那樣分析太坑爹了……
i > 1時有：
g[i] = base ^ (2 ^ (i - 1)) - 1 = (base ^ (2 ^ (i - 2)) - 1) * (base ^ (2 ^ (i - 2)) + 1) = g[i - 1] * 一個偶數
而g[1]顯然是偶數吧……
那麽4 \ g[2]，8 \ g[3]...
也就是說2 ^ i \ g[i]
所以f[i] 實際上有：
(2 ^ 1) * (2 ^ 2) * (2 ^ 3) * ... * (2 ^ (i - 1)) \ f[i]
2 ^ (i * (i - 1) / 2) \ f[i]
當i取12時，就有66個2了喲！
這就是卡base為奇數時的方法。orzstr[12]和not(orzstr[12])即為所求。
而讀入中base既有奇數又有偶數，直接在奇數構造的字符串後面加64個a就可以了。
這樣看來，忽然發現，2^64遠遠大於1000000007，所以卡起來不是那麽簡單。那麽，對於3099，想要AC談何容易。
1 /************************************************************** 2 Problem: 3097 3 User: Doggu 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:0 ms 7 Memory:916 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 #include <cstdio> 11 #include <algorithm> 12 char s[100000]; 13 int main() { 14 printf("%d %d\n",(1<<11)+65,(1<<10)); 15 int now=1;s[1]=‘a‘; 16 for( int i = 1; i <= 11; i++ ) { 17 for( int j = 1; j <= now; j++ ) 18 s[j+now]=s[j]==‘a‘?‘b‘:‘a‘; 19 now<<=1; 20 } 21 for( int i = 1; i <= now; i++ ) putchar(s[i]); 22 for( int i = 1; i <= 65; i++ ) putchar(‘a‘); 23 putchar(‘\n‘); 24 return 0; 25 } 26 27構造
BZOJ 3097 Hash Killer I