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poj-3696 The Luckiest number

ret 全部 -a using poj spa ans 乘法 bre

題意:

給出一個數L。求一個最小的x。使長度為x的888...8這個數整除L。

無解輸出0,L<=2*10^9;


題解:

即求滿足下式的最小x值:

8/9*(10^x-1)==k*L (k為正整數)

8*(10^x-1)==k*9*L

為繼續化簡,求出r=gcd(L,8)。

8/r *(10^x-1)==k*9*L/r

由於8/r與9*L/r互質。9*L這個因式必在(10^x-1)中,所以原式即為:

10^x-1≡0(mod 9*L/r)

10^x≡1(mod 9*L/r)

設q=9*L/r。由歐拉定理得;

10^φ(q)≡1(mod q)

當gcd(q,10)==1時成立。不等於1時無解;

那麽φ(q)就是滿足題意的的一個解。

但這個解未必是最小的;

實際上。這裏的答案也就是10對模q的指數,暫且記為ans;

有定理說明了對隨意的d滿足10^d≡1(mod q)時,d mod ans==0。

所以φ(q) mod ans == 0。

由於φ(q)可能非常大,不能直接枚舉ans驗證,就將φ(q)分解因式;

對全部的質因子i去驗證φ(q)/i是否滿足10^φ(q)/i≡1(mod q)。

一直枚舉完質因子,最後得到的就是ans。


程序實現方面。gcd沒什麽問題;

為了更快的分解因數(φ函數和最後求解都要用),能夠預處理一個素數表(大小到10^5就夠了)。

驗證模線性方程要用到高速冪,可是由於取模數在10^10量級,乘法時有溢出long long的可能。

所以高速冪要套個高速乘。也是一樣取模q;

求解上面說了,不再贅述。


代碼:


#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 1000001
using namespace std;
typedef long long ll;
ll pri[N],tot;
bool vis[N];
void init()
{
	for(ll i=2;i<N;i++)
	{
		if(!vis[i])
			pri[++tot]=i;
		for(ll j=1;j<=tot&&i*pri[j]<N;j++)
		{
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
				break;
		}
	}
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
	ll t=a%b;
	while(t)
	{
		a=b,b=t;
		t=a%b;
	}
	return b;
}
ll mul(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll ret=0;
	while(y)
	{
		if(y&1)
			ret=(ret+x)%mod;
		x=(x+x)%mod;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
ll pow(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll ret=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
			ret=mul(ret,x,mod);
		x=mul(x,x,mod);
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
ll eular(ll x)
{
	ll ret=x,i;
	for(i=1;pri[i]*pri[i]<=x;i++)
	{
		if(x%pri[i]==0)
		{
			while(x%pri[i]==0)
				x/=pri[i];
			ret/=pri[i],ret*=pri[i]-1;
		}
	}
	if(x!=1)
		ret/=x,ret*=x-1;
	return ret;
}
ll Ans(ll q)
{
	if(gcd(q,10)!=1)	return 0;
	ll ret=eular(q),temp=ret,cnt;
	for(ll i=1;pri[i]*pri[i]<=temp;i++)
	{
		if(temp%pri[i]==0)
		{
			cnt=0;
			while(temp%pri[i]==0)
				cnt++,temp/=pri[i];
			while(cnt)
			{
				if(pow(10,ret/pri[i],q)==1)
				{
					ret/=pri[i],cnt--;
				}
				else
					break;
			}
		}
	}
	if(temp!=1)
		if(pow(10,ret/temp,q)==1)
			ret/=temp;
	return ret;
}
int main()
{
	int c=1;
	ll n,i,j,k,p,q;
	init();
	while(scanf("%lld",&n)&&n)
	{
		q=9*n/gcd(n,8);
		printf("Case %d: %lld\n",c++,Ans(q));
	}
	return 0;
}


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