bzoj4622 [NOI 2003] 智破連環陣
Description
B國在耗資百億元之後終於研究出了新式武器——連環陣（Zenith Protected Linked Hybrid Zone）。傳說中，連環陣是一種永不停滯的自發性智能武器。但經過A國間諜的偵察發現，連環陣其實是由M個編號為1，2，…，M的獨立武器組成的。最初，1號武器發揮著攻擊作用，其他武器都處在無敵自衛狀態。以後，一旦第i（1<=i< M）號武器被消滅，1秒種以後第i+1號武器就自動從無敵自衛狀態變成攻擊狀態。當第M號武器被消滅以後，這個造價昂貴的連環陣就被摧毀了。為了徹底打擊B國科學家，A國軍事部長打算用最廉價的武器——炸彈來消滅連環陣。經過長時間的精密探測，A國科學家們掌握了連環陣中M個武器的平面坐標，然後確定了n個炸彈的平面坐標並且安放了炸彈。每個炸彈持續爆炸時間為5分鐘。在引爆時間內，每枚炸彈都可以在瞬間消滅離它平面距離不超過k的、處在攻擊狀態的B國武器。和連環陣類似，最初a1號炸彈持續引爆5分鐘時間，然後a2號炸彈持續引爆5分鐘時間，接著a3號炸彈引爆……以此類推，直到連環陣被摧毀。顯然，不同的序列a1、a2、a3...消滅連環陣的效果也不同。好的序列可以在僅使用較少炸彈的情況下就將連環陣摧毀；壞的序列可能在使用完所有炸彈後仍無法將連環陣摧毀。現在，請你決定一個最優序列a1、a2、a3…使得在第ax號炸彈引爆的時間內連環陣被摧毀。這裏的x應當盡量小Input
Output
一行包含一個整數x，表示實際使用的炸彈數.Sample Input
Sample Input 10 6
6 6
6 0
0 0
1 5
0 3
1 1
Sample Input 2
10 10 45
41 67
34 0
69 24
78 58
62 64
5 45
81 27
61 91
95 42
27 36
91 4
2 53
92 82
21 16
18 95
47 26
71 38
69 12
67 99
35 94
Sample Output
Sample Output 12
Sample Output 2
5
HINT
輸出數據為NOI原數據
原題有spj 此題去掉spj 只輸出最優解
HINT
NOI2003 Day2 T3 感謝sxb_201上傳
正解：搜索+$dp$+二分圖最大匹配。
喪心病狂的$zjo$竟然把這題出成考試題。。我敢說這是我見過的最玄學的搜索題。。
首先，我們發現每個炸彈肯定炸一段連續的區間。那麽有一個很直觀的暴力的思路，那就是枚舉區間。對於每個區間，能夠完全覆蓋的炸彈向它連邊，跑一遍二分圖最大匹配就行了。
這樣顯然是過不了的，所以我們要剪枝。我們假設每個炸彈可以重復使用，那麽我們算出當前武器開始的所有武器最少還需幾個炸彈才能消滅。
這個用$dp$來預處理。設$can[p][i][j]$表示$p$號炸彈，是否能夠炸$[i,j]$這個區間。那麽設$dis[i]$表示炸$[i,m]$需要的最少炸彈，易知$dis[i]=min(dis[j]+1)$，$i<j<=m+1$且$can[p][i][j-1]=1$，$dis[m+1]=0$。這個我們預處理就能得出了。
最優性剪枝：$now+dis[i]>=ans$則剪枝，$now$為當前炸彈數。
可行性剪枝：我們可以每次直接在原圖的基礎上進行增廣，如果當前點不能進行增廣，就不用再往下搜索了。
然而這些剪枝還是不足以通過全部數據，我們不妨從可行性剪枝上入手。
我們可以嘗試求出當前區間右端點的最大值$maxl$，那麽顯然，$maxl$及其之前的端點都是可行的。
我們發現這樣可以很大程度地優化時間。首先，我們可以從$maxl$到$l$依次枚舉右端點，減少搜索量；其次，我們可以只進行一次增廣，因為$can[p][i][j]>=can[p][i][j+1]$，那麽右端點為$maxl$時連的邊，在右端點減小時同樣也會出現，並不會影響答案。
如何求出$maxl$？首先我們要求出輔助數組$maxt[p][l]$，表示炸彈$p$從$l$開始能炸到的最遠的點的編號，這個很容易預處理出來，就不再贅述。
註意到匈牙利算法的過程，一個炸彈能夠使用有兩種情況。首先是這個炸彈沒有出現在匹配邊上；其次是這個炸彈雖然出現在匹配邊上，但是它能夠通過增廣以後和當前區間匹配。那麽我們就可以使用$bfs$來解決這個問題，求出所有能夠使用的炸彈(具體操作看代碼吧。。)，然後不斷地取$maxt[p][l]$的最大值，就能求出$maxl$了。
這就是本題的兩個重要剪枝，加上這兩個剪枝以後極限數據也可以瞬間求解了。
1 //It is made by wfj_2048~ 2 #include <algorithm> 3 #include <iostream> 4 #include <cstring> 5 #include <cstdlib> 6 #include <cstdio> 7 #include <vector> 8 #include <cmath> 9 #include <queue> 10 #include <stack> 11 #include <map> 12 #include <set> 13 #define inf (1<<30) 14 #define N (110) 15 #define il inline 16 #define RG register 17 #define ll long long 18 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout) 19 20 using namespace std; 21 22 int can[N][N][N],maxt[N][N],g[N][N],dis[N],vis[N],lk[N],mt[N],x[N],y[N],u[N],v[N],q[N],n,m,k,cnt,ans; 23 24 il int gi(){ 25 RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); 26 while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar(); 27 if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar(); 28 while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar(); 29 return q*x; 30 } 31 32 il void pre(){ 33 for (RG int i=1;i<=m;++i) x[i]=gi(),y[i]=gi(); 34 for (RG int i=1;i<=n;++i){ 35 u[i]=gi(),v[i]=gi(); 36 for (RG int j=1;j<=m;++j) 37 g[i][j]=(u[i]-x[j])*(u[i]-x[j])+(v[i]-y[j])*(v[i]-y[j])<=k*k; 38 } 39 for (RG int p=1;p<=n;++p){ 40 for (RG int i=1;i<=m;++i) can[p][i][i]=g[p][i],maxt[p][i]=g[p][i]?i:i-1; 41 for (RG int i=1;i<m;++i) 42 for (RG int j=i+1;j<=m;++j){ 43 can[p][i][j]=can[p][i][j-1]&g[p][j]; 44 if (can[p][i][j]) maxt[p][i]=j; 45 } 46 } 47 for (RG int i=m;i;--i){ 48 dis[i]=inf; 49 for (RG int j=i;j<=m;++j) 50 for (RG int p=1;p<=n;++p) 51 if (can[p][i][j]) dis[i]=min(dis[i],dis[j+1]+1); 52 } 53 return; 54 } 55 56 il int hungry(RG int x){ 57 for (RG int v=1;v<=n;++v){ 58 if (!g[x][v] || vis[v]==cnt) continue; vis[v]=cnt; 59 if (!lk[v] || hungry(lk[v])){ mt[x]=v,lk[v]=x; return 1; } 60 } 61 return 0; 62 } 63 64 il void dfs(RG int l,RG int id){ 65 if (l>m){ ans=id-1; return; } if (id-1+dis[l]>=ans) return; 66 ++cnt; RG int LK[N],MT[N],h=0,t=0,maxl=l-1; 67 for (RG int i=1;i<=n;++i) if (!lk[i]) vis[i]=cnt,q[++t]=i; 68 while (h<t){ 69 RG int x=q[++h]; maxl=max(maxl,maxt[x][l]); 70 for (RG int i=1;i<id;++i) 71 if (g[i][x] && vis[mt[i]]!=cnt) vis[mt[i]]=cnt,q[++t]=mt[i]; 72 } 73 memcpy(LK,lk,sizeof(LK)),memcpy(MT,mt,sizeof(MT)); 74 for (RG int i=1;i<=n;++i) g[id][i]=can[i][l][maxl]; ++cnt,hungry(id); 75 for (RG int r=maxl;r>=l;--r){ 76 for (RG int i=1;i<=n;++i) g[id][i]=can[i][l][r]; dfs(r+1,id+1); 77 } 78 memcpy(lk,LK,sizeof(lk)),memcpy(mt,MT,sizeof(mt)); return; 79 } 80 81 il void work(){ 82 m=gi(),n=gi(),k=gi(),pre(),ans=n; 83 dfs(1,1),printf("%d\n",ans); return; 84 } 85 86 int main(){ 87 File("boom"); 88 work(); 89 return 0; 90 }
bzoj4622 [NOI 2003] 智破連環陣