4.1　事件與概率

　　在一個黑箱中, 放著 3 個紅球和 1 個白球. 我們從箱中取出一個球, 再放回去, 反復進行若幹次. 每一次的結果是不確定的, 但總體上拿到紅球的次數與拿到白球的次數接近 3 : 1 .

　　我們發現, 這類現象很常見, 那麽我們就要嘗試把這類現象的特點進行概括, 命名, 然後研究它的性質, 進而應用它.

　　概括一下這種現象: 在個別實驗中其結果呈現出不確定性, 而在大量重復實驗中其結果又具有統計規律性. 為了簡便地稱呼這種現象, 我們要給它起名字, 稱之為 "隨機現象" .

　　怎麽研究一種現象?

　　"事實是檢驗真理的唯一方法." 我們要通過試驗來檢驗真理.

　　這種試驗稱為 "隨機試驗" , 要滿足:　①可以反復進行　②不確定性. 它產生的現象是 "隨機現象" .

　　為了刻畫 "隨機試驗" , 我們需要定義一些相關的量.

　　對於一個量的定義, 可以有多種方法: 文字語言, 數學語言, 圖像語言, 自然語言等等. 在理解上, 可以舉例子.

　　隨機試驗會出現若幹種結果, 某些結果有某些特性. 為了描述這種情形, 我們定義了以下. 樣本空間 $U$ : 隨機試驗的所有結果的集合. 樣本點: 一個結果. 事件: 一個子集. 事件"發生" 當且僅當 子集中的一個樣本點出現. 基本事件: 單個樣本點組成的集合.

　　給出了一個定義之後, 我們還有研究一些特殊的情況, 以細化和完善對這個定義的理解. 必然事件, 不可能事件.　　

　　接下來, 應該把事件之間的運算關系先給弄清楚.

　　事件的定義類比了集合的定義, 集合的運算律在事件中同樣適用.

　　我們定義了和事件, 積事件, 互斥事件與對立事件.

　　和事件 $A+B$ , $A,B$ 中至少有一個事件發生.

　　積事件 $AB$ , $A,B$ 同時發生.

　　特殊地, 如果 $AB = \emptyset$ , 則稱事件 $A$ , $B$ 互斥, 即 $A,B$ 不能同時發生.

　　再特殊地, 如果 $A$ , $B$ 互斥, $A+B = U$ , 則稱 $A$ , $B$ 為對立事件.

　　隨機試驗出現每種結果的可能性不一樣. 為了量化地描述這種可能性, 我們定義了頻率 $\frac{N_A}{n} = \frac{出現次數}{實驗次數}$ .

　　當實驗次數非常大的時候, 頻率總是接近某個常數, 並在它的周圍擺動, 這個常數就是事件 $A$ 的概率 $P(A)$ . 換句話說, 概率是通過頻率的極限定義的.

　　由此也知道, 概率的直觀意義刻畫了一個事件出現的可能性大小. 概率越大, 可能性越大.

　　現在, 我們已經引入了兩個概率論的核心概念: 事件 , 概率.

　　接下來, 應該研究概率的性質.

　　概率有一堆非常直觀的性質.

　　性質1: 非負性, $0\le P(A)\le 1$ .

　　性質2: 規範性. $P(不可能事件) = 0, P(必然事件) = 1$ .

　　性質3: 容斥性. $P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ .

　　性質4: 互斥事件可加性.

　　性質5: 獨立事件可乘性. $P(AB) = P(A)P(B)$ .

　　能否掌握這些性質, 關鍵在於能不能應用, 至於過於哲學的問題暫時也沒時間想了.

4.2 古典概率

　　$P(A) = \frac{a}{a+b}$ .

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