本題適合初一以上數學愛好者解答。

問題：

已知 $x$, $y$, $z$, $n$ 均為正整數，且 $n \ge z$，證明：方程 $x^n + y^n = z^n$ 沒有正整數解。

解答：

事實上Fermat大定理已經被英國數學家Andrew Wiles證明。本題是該定理的一個簡化形式，具備初中數學知識即可順利解決。

由已知，$x < z \le n$，$y < z \le n$，且 $x \ne y$ （否則 $2 \cdot x^n = z^n$ 無整數解）。

不失一般性，假設 $x < y$，因此有 $$z^n - y^n = (z - y)\left(z^{n-1} + yz^{n-2} + \cdots + y^{n-1}\right) \ge 1 \cdot nx^{n-1} > x^n.$$ 與已知 $x^n + y^n = z^n$ 矛盾。

Q$\cdot$E$\cdot$D

作者簡介：

趙胤，海歸雙碩士（數學建模 & 數學教育），中國數學奧林匹克一級教練員，原北京四中數學競賽教練員，目前擔任猿輔導數學競賽教學產品中心副總監。

主要研究方向包括：數學建模（機器學習算法）與數學奧林匹克教育（解題研究與教學法），以第一作者身份發表英文論文5篇。

在10余年的教學生涯中，培養了300余名國內外數學競賽獲獎選手，包括華杯賽、小奧賽、全國初高中數學聯賽一等獎，全美數學競賽（AMC）、美國數學邀請賽（AIME）滿分等。

數學競賽課程QQ群：482131093

初等數學問題解答-5：一個Fermat方程的簡化形式