本題適合初三以上數學愛好者解答。

問題：

設 $x, y, z, a, b, c, r > 0$. 證明: $${x + y + a + b \over x+ y + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over y + z + a + b + c} > {x + z + a + c \over x + z + a + b + c + r}.$$

證明：

考慮對左式通分並逐步縮小。$${x + y + a + b \over x+ y + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over y + z + a + b + c + r}$$ $$> {x + y + a + b \over x + y + z + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$= {x + 2y + z + a + 2b + c \over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$> {x + y + z + a + c \over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$ > {x + z + a + c \over x + z + a + b + c + r}.$$ 最後一個不等式成立的依據是, 對於函數 $$f(x) = {x \over x+t} = 1 - {t \over x+t},\ (t>0)$$在 $(-t, +\infty)$ 上單調遞增.

作者簡介：

趙胤，海歸雙碩士（數學建模 & 數學教育），中國數學奧林匹克一級教練員，原北京四中數學競賽教練員，目前擔任猿輔導數學競賽教學產品中心副總監。

主要研究方向包括：數學建模（機器學習算法）與數學奧林匹克教育（解題研究與教學法），以第一作者身份發表英文論文5篇。

在10余年的教學生涯中，培養了300余名國內外數學競賽獲獎選手，包括華杯賽、小奧賽、全國初高中數學聯賽一等獎，全美數學競賽（AMC）、美國數學邀請賽（AIME）滿分等。

作者微信：zhaoyin0506

初等數學問題解答-7：分式不等式證明