題意：

給你一串括號 問你有多少種匹配的子串

就是前半部分都是‘(‘ 後半部分都是‘)‘的子串

思路：

首先我們預處理

當前位置之前有多少左括號 和 當前位置之後有多少右括號

對於每一個處於i位置的左括號

我們將ans+=C(left[i]+right[i]-1,right[i]-1)

這個式子是C(i-1,left[i]-1)*C(i+1,right[i])化簡來的

因為選的數總數是不變的 所以可以化簡(?)

就是從左邊選i-1個左括號 從右邊選i+1個右括號

因為自己是必選的 所以左括號-1

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2
 
 #define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 3 #define debug(a) cerr<<#a<<"=="<<a<<endl
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 typedef pair<int,int> pii;
 7 
 8 const int maxn=2e5+10;
 9 const int mod=1e9+7;
10 
11 ll fac[maxn];
12 
13 ll quick_pow(ll a,ll n)
 
14 {
15     ll ans=1;
16     while(n)
17     {
18         if(n%2) ans=1ll*ans*a%mod;
19         a=1ll*a*a%mod;
20         n>>=1;
21     }
22     return ans;
23 }
24 
25 ll inv(ll a)
26 {
27     return quick_pow(a,mod-2);
28 }
29 
30 void init()
31 {
32     fac[0]=1;
33     for(int
 
 i=1;i<maxn;i++)
34     {
35         fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
36     }
37 }
38 
39 ll C(ll a,ll b)
40 {
41     ll ans=1;
42     if(a<b || b<0) return 0;
43     while(a&&b)
44     {
45         ll aa=a%mod,bb=b%mod;
46         if(aa<bb) return 0;;
47         ans = 1ll*ans*fac[aa]%mod * inv(1ll*fac[bb]*fac[aa-bb]%mod)%mod;
48         a/=mod,b/=mod;
49     }
50     return ans;
51 }
52 
53 int main()
54 {
55     string str;
56     cin>>str;
57     int sz=str.size();
58     vector<int>left(sz,0),right(sz,0);
59     if(str[0]==‘(‘) left[0]=1;
60     for(int i=1;i<sz;i++)
61     {
62         left[i]=left[i-1]+(str[i]==‘(‘);
63     }
64     if(str[sz-1]==‘)‘) right[sz-1]=1;
65     for(int i=sz-2;i>=0;i--)
66     {
67         right[i]=right[i+1]+(str[i]==‘)‘);
68     }
69     ll ans=0;
70     init();
71     for(int i=0;i<sz;i++)
72     {
73         if(str[i]==‘(‘)
74         {
75             ans+=C(left[i]+right[i]-1,right[i]-1);
76             ans%=mod;
77         }
78     }
79     cout<<ans<<endl;
80     return 0;
81 }/*
82 
83 )(()()
84 
85 */

CodeForces 785D Anton and School - 2 組合數學