對於方程 ax+by=c（x,y為整數），當且僅當 c%gcd（a,b）==0 時，（x,y）有解（見證明3），且有gcd(a,b)組解。

求出方程的一個解x，方程的最小正整數解x0 = (x%(b/gcd(a,b) ) + b/gcd(a,b)) % b/gcd(a,b) (見證明4)

那麽 exgcd（int a,int b,int &x,int &y）為求解該方程的函數，這個函數的返回值為 gcd(x,y)，代碼如下

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
x = 1; //解釋見證明1
y = 0; //解釋見證明1
return a;
}

else
{
int r = exgcd(b,a%b,y,x); //解釋見證明2
y -= a/b*x; //解釋見證明2
return r;
}
}

相關證明：

　　證明1：當b=0時，gcd（a,b）= a,那麽有 ax=a， 得x=1，y=0。

　　證明2：有裴蜀定理得知：a*x1 + b*y1 = gcd(a,b) 一定成立，

　　　　　 那麽得：b*x2 + (a%b)*y2 = gcd(a,b)

　　　　　 那麽得：b*x2 + (a - a/b*b)*y2 = gcd(a,b)

　　　　　 那麽得：b*x2 + a*y2 - a/b*y2*b = gcd(a,b)

　　　　　 那麽得：a*y2 + b(x2 - a/b*y2) = gcd(a,b)

　　　　　 因為：a*x1 + b*y1 = gcd(a,b)

　　　　　 所以： x1= y2,y1 = (x2 - a/b*y2

　　證明3： 結論 對於方程 ax+by=c（x,y為整數），當且僅當 c%gcd（a,b）==0 時有解

　　　　　　設 f = c mod (gcd(a,b)),那麽f的取值範圍應為 ： 0 <= f < gcd(a,b)

　　　　　　有裴蜀定理知道：ax + by = gcd(a,b)

　　　　　　可設：k*gcd(a,b) + f = c

　　　　　　那麽：k*a*x + k*b*y + f = c

　　　　　　若 f != 0,因為0 <= f < gcd(a,b)，所以 f = m*a(m為整數)不成立，所以 k*a*x + k*b*y + ma = c 不成立

　　　　　　所以 f應為0，那麽 c mod (gcd(a,b)) 應為 0。

　　證明4：設c = gcd(a,b)，相鄰的兩組解之間的間隔為dx

　　　　　　得：a*x = d(mod b),

　　　　　　　　a*(x+dx) = d(mod b)

　　　　　　兩個式子相減得 ： a*dx % b = 0

　　　　　　a*dx 是b的整數倍，也是a的整數倍,所以lcm(a,b)所對應的dx值最小

　　　　　　lcm(a,b) = a*b/c

　　　　　　所以 a*dx = a*b/c，所以 dx = b/c

　　　　　　所以最小解x0為：(x%dx + dx)%dx，(x為已經求出的一個解)

擴展歐幾裏得