https://hihocoder.com/problemset/problem/1527

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描述

在寫代碼時，我們經常要用到類似 x × a 這樣的語句( a 是常數)。眾所周知，計算機進行乘法運算是非常慢的，所以我們需要用一些加法、減法和左移的組合來實現乘一個常數這個操作。具體來講， 我們要把 x × a 替換成：(x<<a₀) op₁ (x<<a₁) op₂ (x<<a₂) ... op_n (x<<a_n) 這樣的形式，其中op_i 是+或者-。

舉個例子：x × 15 = (x<<4) - (x<<0)。

在本題中，假設左移（包括左移0）和加法、減法所需要的時間都是一個單位的時間，上述的例子所需要的時間是3。

現在給定常數 a 的二進制形式，求實現 x × a 最少需要多少單位的時間。

輸入

一個01串，表示 a 的二進制形式，從左到右分別是從高位到低位。

0 < 01串的長度之和 ≤ 10⁶。

a > 0。

輸出

輸出一個數，表示最小需要多少單位的時間可以實現 x × a。

樣例輸入

1111

樣例輸出

3

錯解：

貪心選擇超過兩個連續的1的決策不如使用高位減低位的方法，110不如1<<3 – 1<<1

然後，單個1選擇直接加上。

如果兩個大塊（2個連續1以上）中間之隔為1個0，那麽可以合並，110110不如 1<<6 – 1<<4 + 1<<3 – 1<<1 = 1<<6 – 1 <<3 – 1<<1
 

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
typedef 
 
long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-9;
const int N = 1e6 + 5;

char s[N];

int main()

{
    while(scanf("%s", s) != EOF)
    {
        int n = strlen(s);
        int cnt = 0;
        int i = 0;
        while(i < n)
        {
            int k = 0;
            while(i < n && s[i] == ‘1‘)
            {
                k++;
                i++;
            }
            if(k == 1) cnt++;
            else if(k >= 2) cnt += 2;
            if(k >= 2 && i+2 < n && s[i+1] == ‘1‘ && s[i+2] == ‘1‘)
                cnt -= 1;
            if(i < n && s[i] == ‘0‘)
                i++;
        }
        printf("%d\n", 2*cnt-1);
    }
    return 0;
}

題解：很多都是二冪劃分的解釋，也可以用dp來做

從低位往高位考慮。dp[i]表示第i位的時候需要進行最少操作數

如果當前位是0，dp[i] = dp[i-1]

如果當前位是1，可以有兩種選擇，直接加上dp[i] = dp[i-1] + 1;

或者，把某一部分的0全部補上，然後用高位1減去，例如01100 = 10000 – 00100，也就是 [x, i]全部都變成1，也就是要補上x~i的0

dp[i] =min{ dp[x-1] + 2 + sum[i] – sum[x-1]}

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-9;
const int N = 1e6 + 5;

char s[N];
int sum[N], dp[N];
int main()
{
    scanf("%s", s+1);
    int n = strlen(s+1);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    reverse(s+1,s+1+n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) sum[i] =sum[i-1] + (s[i] == ‘0‘);
    dp[0] = 0;
    int mx = -1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(s[i] == ‘0‘)
            dp[i] = dp[i-1];
        else
        {
            dp[i] = dp[i-1] + 1;
            if(mx > 0)
                dp[i] = min(dp[i], dp[mx-1] + 2 + sum[i] - sum[mx-1]);
        }
        if(mx == -1 || dp[i-1] + 2 + sum[i+1] - sum[i-1] <= dp[mx-1] + 2 + sum[i+1] - sum[mx-1])
            mx = i;
    }
    printf("%d\n", 2*dp[n]-1);
    return 0;

}

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