題目鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667

題目意思：f1=1，i=1

　　　　　f2=2 ，i=2

　　　　　fi=a^b*f[i-1]^c*f[i-2] i>2

思路：發現a^b，和f[i-1]^c之類的東西，我們很明顯吧這個冪變成乘，很自然的想到對數。問題是對什麽取對數，最後發現對a取對數是合適的。

loga（fi）=loga（a^b*f[i-1]^c*f[i-2]）=loga(a^b)+loga(f[i-1]^c)+loga(f[i-2])，我們設k[i]=loga(fi)，所以k[i]=b+c*k[i-1]+k[i-2]。我們可以通過矩陣快速冪算出k[n]，然後a^k[n]=f[n]，可以直接用快速冪算出。

這裏需要註意一下，這裏需要規避a%p=0的情況，需要先把k[n]%(mod-1)，這一點我目前還沒辦法證明，在完成矩陣快速冪專題以後，研究數論的時候，可能會對這個進一步研究和證明。

代碼：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <cmath>
 6 using namespace std;
 7 #define LL long long
 8 LL p,aa,bb,cc,n,mod; //
 
mod為p-1
 9 struct matrix
10 {
11     LL mat[3][3];
12 };
13 matrix pow1(matrix a,matrix b) // N^3的矩陣相乘
14 {
15     matrix c;
16     memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
17     for(int i=0;i<3;i++){
18         for(int j=0;j<3;j++){
19             for(int k=0;k<3;k++){
20                 c.mat[i][j] += (a.mat[i][k]*b.mat[k][j]);
 
21                 c.mat[i][j] %= mod;
22             }
23         }
24     }
25     return c;
26 }
27 matrix cheng(matrix a,LL y) //矩陣快速冪
28 {
29     matrix b;
30     memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));
31     for(int i=0;i<3;i++) b.mat[i][i] = 1;
32     while(y){
33         if(y&1){
34             b = pow1(a,b);
35             y-=1;
36         }else {
37             a = pow1(a,a);
38             y/=2;
39         }
40     }
41     return b;
42 }
43 LL quick_pow(LL a,LL tmp) //對a進行快速冪
44 {
45     LL b = 1ll;
46     while(tmp)
47     {
48         if(tmp&1) b=(a*b)%p;
49         a=(a*a)%p;
50         tmp>>=1;
51     }
52     return b;
53 }
54 int main()
55 {
56     int t;
57     scanf("%d",&t);
58     while(t--){
59         scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&aa,&bb,&cc,&p);
60         matrix ma;
61         mod = p-1;
62         memset(ma.mat,0,sizeof(ma.mat));//初始化遞歸矩陣
63         ma.mat[0][0] = cc; ma.mat[0][1] = 1; ma.mat[0][2] = bb;
64         ma.mat[1][0] = 1; ma.mat[2][2] = 1;
65 
66 
67         ma = cheng(ma,n-2); //算指數和直接冪有點不同
68         LL tmp = ma.mat[0][0]*bb + ma.mat[0][2]; //取出指數
69         LL ans = quick_pow(aa,tmp);
70         printf("%lld\n",ans);
71 
72     }
73     return 0;
74 }

HDU5667—Sequence（對數轉化）