題意：求解模線性同余方程組

解題關鍵:擴展中國剩余定理求解。兩兩求解。

$\begin{array}{l}
x = {r_1}\bmod {m_1}\\
x = {r_2}\bmod {m_2}
\end{array}$

為了代碼的符號清晰，將轉化後的系數都為正，故如下設方程。

$\begin{array}{l}
x = {r_1} - {k_1}{m_1}\\
x = {r_2} + {k_2}{m_2}
\end{array}$

${r_1} - {r_2} = {k_2}{m_2} + {k_1}{m_1}$

以上其實是另一個模線性同余方程組。

考慮$ax + by = c$

由模線性同余方程的存在定理：$\gcd (a,b)|c$

$\begin{array}{l}
\frac{a}{{\gcd (a,b)}}x + \frac{b}{{\gcd (a,b)}} = \frac{c}{{\gcd (a,b)}}\\
x \equiv {(\frac{a}{{\gcd (a,b)}})^{ - 1}}\frac{c}{{\gcd (a,b)}}\bmod (\frac{b}{{\gcd (a,b)}})
\end{array}$

回歸原式：

$x$即為${k_1}$

推出原式中的$x$

$x = {r_1} - {k_1}{m_1} = {r_1} - {m_1}{(\frac{{{m_1}}}{{\gcd ({m_1},{m_2})}})^{ - 1}}\frac{{{r_2} - {r_1}}}{{\gcd ({m_1},{m_2})}}\bmod \frac{{{m_1}{m_2}}}{{\gcd ({m_1},{m_2})}}$

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<cmath>
 6 #include<iostream>
 7 using namespace std;
 8 typedef long long ll;
 9 ll x,y,r[20002],m[20002],n;
10 ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
11     ll d=a;
 
12     if(b)   d=extgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
13     else  x=1,y=0;
14     return d;
15 }
16 ll excrt(int n,ll *m,ll *r){
17     ll M=m[0],pre=r[0],d;//a是模數 
18     for(int i=1;i<n;i++){
19         d=extgcd(M,m[i],x,y);
20         if((pre-r[i])%d!=0) return -1;
21         x=(pre-r[i])/d*x%m[i];
22         pre-=x*M;
23         M=M/d*m[i];//lcm 
24         pre%=M;
25     }
26     return (pre%M+M)%M;
27 }
28 int main(){
29     ios::sync_with_stdio(0);
30     while(cin>>n){
31         for(int i=0;i<n;i++) cin>>m[i]>>r[i];
32         ll ans=excrt(n,m,r);
33         printf("%lld\n",ans);
34     } 
35 }

[poj2891]Strange Way to Express Integers(擴展中國剩余定理)