【dp】背包問題
01背包
吶,為什麽叫它01背包呢,因為裝進去就是1,不裝進去就是0.所以針對每個物品就兩種狀態,裝,不裝(請允許我用這麽老套的開篇,相信聽過很多次背包講解的人,大多都是這個開篇的)所以咯,我這個背包啊,只要有足夠大的空間,這個物品是有可能被裝進去的咯。
所以有狀態轉移方程dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - weight[i] ] + value[i] )
然後二維數組的代碼寫法分分鐘就出來了,反正都是跟前一個狀態去轉移,也沒有什麽寫法上的限制。
代碼
並不優化
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005][1005];
int weight[1005];
int value[1005];
int main()
{
int n,m;
cin>>m>>n;
memset(dp,0,sizeof(dp));//數組清空,其實同時就把邊界給做了清理
for(int i=1; i<=n; i++)
cin>>weight[i]>>value[i];
//從1開始有講究的因為涉及到dp[i-1][j],從0開始會越界
for (int i=1; i<=n; i++)//判斷每個物品能否放進
{
for(int j=0; j<=m; j++)//對每個狀態進行判斷
//這邊兩重for都可以倒著寫,只是需要處理最邊界的情況,滾動數組不一樣
{
if(j>=weight[i])//能放進
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
else dp[i][j]=dp[i-1][j];//不能放進
}
}
cout<<dp[n][m]<<endl;
return 0;
}
因為很容易超內存
用滾動數組優化
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005];//滾動數組的寫法,省下空間
int weight[1005];
int value[1005];
int main()
{
int n,m;
cin>>m>>n;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1; i<=n; i++)
cin>>weight[i]>>value[i];
for(int i=1; i<=n; i++){ //對每個數判斷,可反
for(int j=m; j>=weight[i]; j--) {//這裏這個循環定死,不能反,反了就是完全背包
dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);//其實不斷在判斷最優解,一層一層的
}
}
cout<<dp[m]<<endl;
return 0;
}
完全背包
就像先前講的,完全背包是每個物品都無限,那麽我只要對著一個性價比最高的物品狂選就是了啊。??
是嗎?有瑕疵啊!
反例一批一批的啊,認死了選性價比最高的,不一定是完全填滿背包的啊,萬一最後一個是剛好填滿背包的,而且價格湊起來剛好比全選性價比最高的物品高的情況比比皆是啊。
啊?什麽,特判最後一個狀態?
你在搞笑嗎|||- -,那我再往前推到倒數第二件,第三件咋辦。總不能對每個物品都特判吧。
所以正解就是動態規劃。狀態轉移方程如下:dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) ( 0<=k*weight[i]<=m)
代碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[100005];//m
struct Node{
int a,b;
}node[1005];//n
int main(){
int n;
while(~scanf("%d",&n)){
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d%d",&node[i].a,&node[i].b);
}
int m;
scanf("%d",&m);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=node[i].b;j<=m;j++){//這樣就是完全背包
dp[j]=max(dp[j],dp[j-node[i].b]+node[i].a);
}
}
printf("%d\n",dp[m]);
}
return 0;
}
多重背包
理解了前面兩種背包,那麽第三種背包理解起來就毫不費力了
首先這種可以把物品拆開,把相同的num[i]件物品 看成 價值跟重量相同的num[i]件不同的物品,那麽!!是不是就轉化成了一個規模稍微大一點的01背包了。
那只是一種理解方法,其實正規的應該是這樣的dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) 0<=k<=num[i](
這個跟完全背包差點就一毛一樣了)
那麽還是用滾動數組來寫,而且還又優化了下
代碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
int dp[N];
int c[N],w[N],num[N];
int n,m;
void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封裝成函數
{
for(int i=n; i>=cost; i--)
dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);
}
void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封裝成函數
{
for(int i=cost; i<=n; i++)
dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);
}
int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1; i<=n; i++)//遍歷每種物品
{
if(num[i]*c[i] > m)
Complete_Pack(c[i],w[i],m);
//如果全裝進去已經超了重量,相當於這個物品就是無限的
//因為是取不光的。那麽就用完全背包去套
else
{
int k = 1;
//取得光的話,去遍歷每種取法
//這裏用到是二進制思想,降低了復雜度
//為什麽呢,因為他取的1,2,4,8...與余數個該物品,打包成一個大型的該物品
//這樣足夠湊出了從0-k個該物品取法
//把復雜度從k變成了logk
//如k=11,則有1,2,4,4,足夠湊出0-11個該物品的取法
while(k < num[i])
{
ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m);
num[i] -= k;
k <<= 1;
}
ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m);
}
}
return dp[m];
}
int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
cin>>m>>n;
for(int i=1; i<=n; i++)
cin>>c[i]>>w[i]>>num[i];
cout<<Multi_Pack(c,w,num,n,m)<<endl;
}
return 0;
}
轉http://blog.csdn.net/tinyguyyy/article/details/51203935
【dp】背包問題