正十二面體有$12$個面,每個面為正五邊形,每個頂點連接$3$條棱.求它的內切球與外接球半徑比.

解.不妨設正十二面體的棱長均為$a$.

先求正五邊形的高.如圖所示,這裏的字母記號和下圖有沖突,請註意區別.利用這麽個事實,從正五邊形某個頂點向兩個對點連線,這兩條線將會三等分內角$\displaystyle \frac{(5-2)\times 180^\circ}5=108^\circ$,則三等分後的角$\angle CAD=36^\circ$,則$\angle CAF=18^\circ$,因此正五邊形的高為
$$
h=\frac{a/2}{\tan 18^{\circ}}=\frac{a/2}{\tan \left( \pi /10 \right)}=\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a.
$$

接著求正十二面體的二面角,記某頂點處的三條等長的棱形成的向量分別為$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$,其中的任意兩個向量夾角為$108^\circ$.

事實上,利用Lagrange恒等式$$\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(\overrightarrow{c}\times\overrightarrow{d}\right)=\left|\begin{matrix}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}& \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}\\\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}& \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}\\\end{matrix}\right|,$$我們有
\begin{align*}
\frac{\left( \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} \right) \cdot \left( \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c} \right)}{\left| \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} \right|\left| \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c} \right|}&=\frac{1}{\left| \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} \right|\left| \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c} \right|}\left| \begin{matrix}
\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}& \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\\
\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}& \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\\
\end{matrix} \right|\\
&=\frac{1}{a^4\sin 108^{\circ}}\left| \begin{matrix}
a^2\cos 108^{\circ}& a^2\cos 108^{\circ}\\
a^2& a^2\cos 108^{\circ}\\
\end{matrix} \right|\\
&=\frac{\cos ^2108^{\circ}-\cos 108^{\circ}}{\sin 108^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{5}},
\end{align*}
這裏利用了
$$
\cos 108^{\circ}=\frac{1-\sqrt{5}}{4},\qquad \sin 108^{\circ}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}.
$$
由正十二面體實物圖可以看出二面角顯然為鈍角,因此所求二面角$\theta$的余弦值為$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}$.

這題關鍵是找到適合計算的截面圖,因為建坐標系比較復雜,利用坐標系不太現實.不過在英文Wiki上有這些坐標參數,利用這些數據此問題瞬間得到解答.如圖便是我們找到的可行截面圖,也就是$AC=h=\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a$,且$\angle ACO=\gamma=\theta/2$.我們有
$$
\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{5}}=1-2\sin ^2\gamma \Rightarrow \sin \gamma =\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}},\cos \gamma =\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}.
$$
因此梯形的下底為
\begin{align*}
CF&=2CH+a=2h\cos \gamma +a\\
&=2\times \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a\times \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}+a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}a.
\end{align*}
由此得
$$
r=OI=\frac{CF}{2}\sin \gamma =\frac{3+\sqrt{5}}{4}a\times \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}a,
$$
而由余弦定理可知
\begin{align*}
R^2&=OA^2=h^2+\left( \frac{CF}{2} \right) ^2-2h\cdot \frac{CF}{2}\cdot \cos \gamma\\
&=\left( \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a \right) ^2+\left( \frac{3+\sqrt{5}}{4}a \right) ^2-\sqrt{5+2\sqrt{5}}\times \frac{3+\sqrt{5}}{4}a\times \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}\\
&=\frac{9+3\sqrt{5}}{8}a^2,
\end{align*}
即$$
R=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a,
$$
從而所求內切球與外接球半徑比等於
$$
\frac{r}{R}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}a}{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a}=\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{15}}.
$$
註:其實一開始我把$-\frac1{\sqrt{5}}$的負號丟了,折騰了半天.此外,我們還可以計算出正十二面體的表面積$S$和體積$V$分別為
$$
S=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2,\qquad V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3.
$$

2016年北大高代考研題解答