根據定義，這個序列作為函數的系數，稱G(x)就是序列的母函數。和一般意義上的函數相比，母函數的功能是計數。

從百度和維基上能找到的相關說明都顯得太學院派，不容易理解，還是用例子說明並引入吧。

有這樣一道例題：

到這一章為止，已知的計數法則就兩種，加法法則（或）和乘法法則（且）。前者是分類思想，後者是分步。

法1:分步來看，第一個骰子有1-5種可能，因為兩個骰子之和是6，所以一旦第一個骰子確定了，第二個骰子也就隨之確定。第一個骰子的每一種可能性都僅對應第二個骰子的唯一確定的點數。因此5*1=5種。

法2:分類來看，有可能是1+5=5+1或2+4=4+2或3+3=3+3，累加起來，一共五種可能。

當然這個是最最簡單的例子，也很容易想，但如果骰子有很多呢？

這種情況下，挨個挨個地枚舉顯然是愚蠢的。而伯努利在300年前已經研究過這個問題了，是關於“投擲m粒骰子時，點數總和為n的可能方案數”，這個問題乍看之下很復雜，令人懷疑人生。

那麽先從簡單情形考慮，兩個骰子擲出n點，有多少種可能。這相當於把n拆分成兩個數的和，這時候對n枚舉就很復雜，所以對兩個骰子枚舉。第一個骰子，6種可能，相互之間是“或”的關系，對應的是加法，但是不能直接相加，因為這無法反映兩個骰子的疊加過程。

我們需要逐個分析一個骰子的不同情況，對於一個骰子，假如擲出2個點，就可以看作一個分步策略，相當於——先擲一個點，再擲一個點，所以是(●)^2，當然這樣不習慣，於是用x^2來表示。那四個點是x^4,因此可以用指數對應點數。

這樣就可以用（x+x^2+…+x^6）表示一個骰子的投擲過程，對於第二個骰子也是這樣，最後兩式相乘，x^6前面的系數就是有多少種出現6點的方案。

最後的母函數求出來是

兩個骰子擲出n點的可能方法數就是求G(x)中x^n的系數。實際上系數起了關鍵性的作用，母函數中的系數對應了計數序列。

那麽回溯到最初伯努利提出的問題，m粒骰子就是m個多項式累乘

而要求點數總和為n的可能方案數，也就是求展開式中x^n的系數。這可以看出來，對於這個多項式，我們並不關心它的值，現在關心的卻是它的系數了。（所以母函數確實是一位母親，計數序列作為系數就是她的孩子233）

所以母函數的定義我們可以進一步提煉出兩點

1. 關註每一個計數的序列
2. 每一個計數序列對應的是x^n

而這個定義是拉普拉斯在研究概率的時候，研究了母函數的方法和相關定義。（1812年拉普拉斯在著作《概率的分析理論》第一卷中系統地研究了母函數的方法和有關理論）

最後總結一下，母函數實際上是用來做什麽的，以及它和函數有什麽區別。

對於母函數

• 是計數工具，x的取值我們不關心，似乎只是個占位置的東西
• 不考慮斂散性
• 不考慮實際上的函數值
• 形式冪級數（Formal power series）

雖然形式上是函數，但“似函數，非函數”。

那——為什麽要引入一個母函數呢？因為在現實世界裏，對於各種復雜的事件，我們要通過“映射”的方式將其簡化，比如說對於分數冪的運算十分困難，我們用一個對數映射將其簡化，再求原問題的解，就相對容易了。

在母函數中同樣如此，在一開始思考的骰子問題裏，直接計算是十分困難的，後來發現通過分步來考慮的時候，把多項式引入，求出相應系數後再對應回來，就得到了解。

其實母函數蘊含的就是一種映射關系。

那麽是什麽原因使得母函數具備了計數的法則呢，在骰子那道題中，通過求系數來對應方案數是一個例子。分析一下，對於一般的多項式，可以寫成

這種形式，展開後的某個冪次的系數可以分為兩部分，分別來自於兩個括號裏的某一項，這實際上就是對應的乘法法則

所以實質上是多項式的乘法運算使母函數具有了計數能力。

“母函數就是一列用來展示一串數字序列的掛衣架”

——赫伯特·維爾夫

母函數簡介