HDU3045 Picnic Cows （斜率DP優化）（數形結合）
轉自PomeCat：
“DP的斜率優化——對不必要的狀態量進行拋棄，對不優的狀態量進行擱置，使得在常數時間內找到最優解成為可能。斜率優化依靠的是數形結合的思想，通過將每個階段和狀態的答案反映在坐標系上尋找解答的單調性，來在一個單調的答案（下標）隊列中O（1）得到最優解。”
https://wenku.baidu.com/view/b97cd22d0066f5335a8121a3.html
“一些試題中繁雜的代數關系身後往往隱藏著豐富的幾何背景，而借助背景圖形的性質，可以使那些原本復雜的數量關系和抽象的概念，顯得直觀，從而找到設計算法的捷徑。”—— 周源《淺談數形結合思想在信息學競賽中的應用》
斜率優化的核心即為數形結合，具體來說，就是以DP方程為基礎，通過變形來使得原方程形如一個函數解析式，再通過建立坐標系的方式，將每一個DP方程代表的狀態表示在坐標系中，在確定“斜率”單調性的前提下，進行形如單調隊列操作的舍解和維護操作。
一個算法總是用於解決實際問題的，所以結合例題來說是最好的：
Picnic Cows（HDU3045）
題目大意：
給出一個有N (1<= N <=400000)個正數的序列，要求把序列分成若幹組（可以打亂順序），每組的元素個數不能小於T (1 < T <= N)。每一組的代價是每個元素與最小元素的差之和，總代價是每個組的代價之和，求總代價的最小值。
樣例輸入包含：
第一行 N
第二行 N個數，如題意
樣例輸出包含：
第一行 最小的總代價
分析：
首先，審題。可以打亂序列順序，又知道代價為組內每個元素與最小值差之和，故想到貪心，先將序列排序（用STL sort）。
先從最簡單的DP方程想起：
容易想到：
f[i] = min( f[j] + (a[j + 1 -> i] - Min k) ) （0 <= j < i）
– –> f[i] = min( f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * ( i - j ) )
Min k 代表序列 j + 1 -> i 內的最小值，排序後可以簡化為a[j + 1]。提取相似項合並成前綴和sum。這個方程的思路就是枚舉 j 不斷地計算狀態值更新答案。但是數據規模達到了 40000 ，這種以O（n ^ 2）為絕對上界方法明顯行不通。所以接下來我們要引入“斜率”來優化。
首先要對方程進行變形：
f[i] = f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * ( i - j )
– –> f[i] = (f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j) - i * a[j + 1] + sum[i]
（此步將只由i決定的量與只由j決定的量分開）
由於 sum[i] 在當前枚舉到 i 的狀態下是一個不變量，所以在分析
令 i = k
a[j + 1] = x
f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j = y
f[i] = b
原方程變為
– –> b = y - k * x
移項
– –> y = k * x + b
是不是很眼熟？ 沒錯，這就是直線的解析式。觀察這個式子，我們可以發現，當我們吧許許多多的答案放在坐標系上構成點集，且枚舉到 i 時，過每一個點的斜率是一樣的！！ 很抽象？ 看圖
可以看出，我們要求的f[i]就是截距，明顯，延長最右邊的直線交於坐標軸可得最小值。難道只要每次提取最靠近 i 的狀態就行了嘛？現實沒有那麽美好。
像這樣的情況，過2直線的截距明顯比過3直線的截距要小， 意味著更優（在找求解最小值問題時），這種情況下我們之前的猜想便行不通。
那怎麽辦呢？這時就要用到斜率優化的核心思想——維護凸包。
何為凸包？
不懂得同學還是戳這裏：http://baike.baidu.com/link?url=OWX7haiZHtuKD2hjbEBVouUGxKXIMvXDnKra0xDhxuz9zGttTg_JoRwmUcbrGD9Xp2BnbCJDF8BblaQffDBvblg0xNqgIOXCVZpQ7ZNBkWG
其實我們要維護的凸包與這個凸包並無關系，只是在圖中長得像罷了。
那為什麽要維護凸包呢？
還要看圖：
這就是一個下凸包，由圖可見，最前面的那個點的截距最小，也詮釋了維護凸包的真正含義（想一想優先隊列，是不是隊首最優？）。那還是有人會提出疑問，為什麽非要維護這樣的凸包呢？ 答案就是，f[i]明顯是遞增的（相比於f[j] 加上一個代價），所以會在圖中自然而然地顯現出 Y 隨著 X增加而增加的情況，呈現出凸包的模樣。
可能這個過程比較晦澀難懂，沒懂的同學可以多看幾遍。
現在我們回到對 數 的分析
現在假設我們正在枚舉 j 來更新答案，有一個數 k， j < k < i
再來假設 k 比 j 優（之所以要假設正是要推出具體情況方便舍解）
則有
f[k] + sum[i] - sum[k] - a[k + 1] * (i - k) <= f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * (i - j) (k > j)
移項消項得
f[k] - sum[k] + a[k+ 1] * k - (f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j) <= i * (a[k + 1] - a[j+ 1])
將只與 i 有關的元素留下，剩下的除過去， 得到
f[k] - sum[k] + a[k+ 1] * k - (f[j] - sum[j] + a[j + 1] * j) / (a[k + 1] - a[j + 1])<= i
（這裏註意判斷除數是否為負， 要變號，當然這裏排序過後對於 k > j a[k] 肯定大於 a[j]）
這個式子什麽意思呢？我用人類的語言解釋一下。
設 Xi = a[i], Yi = f[i] - sum[i] + a[i + 1] * i
那麽原式即為如下形式：
(Yk - Yj) / (Xk - Xj) <= i
意思就是當有k 和 j 滿足 j < k 的前提下 滿足此不等式
則證明 j 沒有 k 優
而這個式子的左邊數學意義是斜率， 而右邊是一個遞增的變量， 所以遞增的 i 會淘汰隊列裏的元素， 而為了高效的淘汰， 我們會（在這道題裏）選用斜率遞增的單調隊列，也就是上凸包。（再看看前面的圖，是不是斜率在遞增）
我們還可以從另一個角度理解維護上凸包的理由
仔細觀察下面的圖：
一開始，1 號點的截距比2號點更優
隨著斜率的變化，兩個點的截距變得一樣了
然後，斜率接著變化，1號點開始沒有2號點優了，所以要舍棄
後面的過程，3號點會漸漸超過2號點，並淘汰掉2號點
分析整個過程，最優點依次是 1 -> 2 -> 3，滿足單調的要求
但是如果是一個上凸包會怎樣呢？
這裏只給出最終圖（有興趣的同學可以自己推一推），可以預見的是，在1趕超2前，3先趕超了2就破壞了順序，因此不行
思路大概是清晰了，現在只剩下代碼實現方面的問題了
下面就看看單調隊列的操作
先將推出的X, Y用函數表示方便計算：
X：
dnt X( int i, int j ) { return a[j + 1] - a[i + 1]; }
- 1
- 2
- 3
- 4
（dnt 是 typedef 的 long long）
Y：
dnt Y( int i, int j ) { return f[j] - sum[j] + j * a[j + 1] - (f[i] - sum[i] + i * a[i + 1]); }
- 1
- 2
- 3
- 4
處理隊首：
for(; h + 1 < t && Y(Q[h + 1], Q[h + 2]) <= i * X(Q[h + 1], Q[h + 2]); h++);
- 1
從隊尾維護單調性：
（這裏是一個下凸包所以兩點之間的斜率要遞增，即 斜率（1， 2） < 斜率（2， 3）, 前一個斜率比後一個小）
for(; h + 1 < t && Y(Q[t - 1], Q[t]) * X(Q[t], cur) >= X(Q[t - 1], Q[t]) * Y(Q[t], cur); t--);
- 1
（註意，要把除法寫成乘的形式，不然精度可能會出問題）
斜率優化部分已經完結（說起來挺復雜其實代碼很短），接下來就放出AC代碼：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <iostream> using namespace std; typedef long long dnt; int n, T, Q[405005]; dnt sum[405005], f[405005], a[405005]; dnt Y( int i, int j ) { return f[j] - sum[j] + j * a[j + 1] - (f[i] - sum[i] + i * a[i + 1]); } dnt X( int i, int j ) { return a[j + 1] - a[i + 1]; } dnt DP( int i, int j ) { return f[j] + (sum[i] - sum[j]) - (i - j) * a[j + 1]; } inline dnt R() { static char ch; register dnt res, T = 1; while( ( ch = getchar() ) < ‘0‘ || ch > ‘9‘ )if( ch == ‘-‘ )T = -1; res = ch - 48; while( ( ch = getchar() ) <= ‘9‘ && ch >= ‘0‘) res = res * 10 + ch - 48; return res*T; } int main() { sum[0] = 0; while(~scanf( "%d%d", &n, &T )) { a[0] = 0, f[0] = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) scanf( "%I64d", &a[i] ); sort(a + 1, a + n + 1); for(int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + a[i]; int h = 0, t = 0; Q[++t] = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) { int cur = i - T + 1; for(; h + 1 < t && Y(Q[h + 1], Q[h + 2]) <= i * X(Q[h + 1], Q[h + 2]); h++); f[i] = DP(i, Q[h + 1]); if(cur < T) continue; for(; h + 1 < t && Y(Q[t - 1], Q[t]) * X(Q[t], cur) >= X(Q[t - 1], Q[t]) * Y(Q[t], cur); t--); Q[++t] = cur; } printf( "%I64d\n", f[n] ); } return 0; }
註釋版本：
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=800010; long long dp[maxn],q[maxn]; long long a[maxn],sum[maxn]; long long getdp(long long i,long long j) { return dp[j]+(sum[i]-sum[j])-a[j+1]*(i-j); } long long getdy(long long j,long long k)//得到 yj-yk k<j { return dp[j]-sum[j]+j*a[j+1]-(dp[k]-sum[k]+k*a[k+1]); } long long getdx(long long j,long long k)//得到 xj-xk k<j { return a[j+1]-a[k+1]; } int main() { long long i,j,n,k,head,tail,m; while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)){ head=tail=0; sum[0]=q[0]=dp[0]=q[1]=0; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); sort(a+1,a+n+1); for(i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i]; for(i=1;i<=n;i++){ //刪去隊首斜率小於目前斜率的點 while(head<tail&&(getdy(q[head+1],q[head])<=i*getdx(q[head+1],q[head]))) head++; dp[i]=getdp(i,q[head]); j=i-m+1; if(j<m) continue; //接下來是對j而不是i進行處理 ，保證了間隔大於m-1的要求 while(head<tail&&(getdy(j,q[tail])*getdx(j,q[tail-1])<=getdy(j,q[tail-1])*getdx(j,q[tail]))) tail--; q[++tail]=j; } printf("%lld\n",dp[n]); } return 0; }View Code
HDU3045 Picnic Cows （斜率DP優化）（數形結合）