母函數

母函數定義

考慮只取非負值的離散型隨機分布，如二項分布，泊松分布，幾何分布等，稱之為整值隨機變量。而有一種變換方法比較適於變換，即母函數法。

對於整值隨機變量 \(\xi\) ，根據佚名統計學家公式，定義母函數為 \(P(s)=Es^{\xi}=\sum_{k=0}^\infty p_ks^k\) ，當 \(|s|\le1\)時，\(P(s)\) 一致收斂且絕對收斂，所以母函數對任何整值隨機變量都存在。

二項分布母函數： \(P(s)=(q+ps)^n\)

泊松分布母函數： \(P(s)=e^{\lambda s}e^{-\lambda}=e^{\lambda(s-1)}\)

幾何分布母函數： \(P(s)=\frac{ps}{1-qs}\)

母函數的性質

• 唯一性：母函數能唯一確定分布列

• 母函數與數值特征相關

因為，\(P(s)=\sum_{k=0}^\infty p_ks^k\) ，可以推得\(P'(s)=\sum_{k=1}^\infty kp_ks^{k-1}\)，\(P''(s)=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)p_ks^{k-2}\)

所以，當數學期望和方差存在的時候，可以知道 \(E\xi=P'(1)\)，而\(E(\xi(\xi-1))=E(\xi^2)-E\xi=P''(1)\)，

推得\(D\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=E(\xi(\xi-1))+E\xi-(E\xi)^2=P''(1)+P'(1)-(P'(1))^2\)

所以，利用母函數可以更為簡單直接的求整值隨機變量的數字特征。

• 獨立隨機變量和的母函數

考慮隨機變量和的母函數，根據整值隨機變量的定義我們可以知道，計算隨機變量 \(\zeta=\xi+\eta\)時，（分別對應於分布\(\{c_k\},\{a_k\},\{b_k\}\)）有\(c_r=\sum_{i=0}^ra_ib_{r-i}\)，這個實際上給出了卷積的從統計角度上的理解。既然是卷積，我們知道多項式乘法的計算過程也是利用卷積，所以通過母函數，我們可以把隨機變量和的概率分布求解轉化成多項式乘法，即\(C(s)=A(s)B(s)\)。兩個獨立隨機變量之和的母函數是這兩個隨機變量母函數的乘積，而母函數和分布是一一對應的，從而可以間接求出分布。

結論可以推廣到n個獨立整值隨機變量之和的場合。

• 隨機個隨機變量之和的母函數

考慮一組獨立同分布的隨機變量\(\{\xi_n\}\)，母函數為\(F(s)=\sum_{j=0}^\infty f_js^j\)，和與之獨立的正值隨機變量\(v\) ，母函數為\(G(s)=\sum_{n=0}^\infty g_ns^n\) ，考慮 \(\eta = \sum_{i=1}^v \xi_i\)，即隨機個隨機變量之和的分布。

\(\eta\)的母函數為\(H(s)=\sum_{i=0}^\infty h_is^i\) ，所以有
\[ \begin{split} h_i &= P\{\eta=i\} = \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{\eta=i|v=n\}\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{ \sum_{i=1}^n \xi_i|v=n\}\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{ \sum_{i=1}^n \xi_i\} \end{split} \]
而隨機變量\(\{\xi_n\}\)獨立同分布，所以有
\[ \begin{split} H(s)&=\sum_{i=0}^\infty h_is^i\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{ \sum_{i=1}^n \xi_i\}s^i\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}[F(s)]^n\ &= G[F(s)] \end{split} \]
即隨機個隨機變量之和的母函數是原來兩個母函數的復合。

考慮應用：由於 \(H'(s)=G'[F(s)]F'(s)\) 令\(s=1\)可以求得，\(E\eta=Ev E\xi_i\)

?

常用統計數字特征及解析工具