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[Sdoi2010]地精部落

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Description

傳說很久以前，大地上居住著一種神秘的生物：地精。 地精喜歡住在連綿不絕的山脈中。具體地說，一座長度為 N 的山脈 H可分 為從左到右的 N 段，每段有一個獨一無二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之間的正 整數。 如果一段山脈比所有與它相鄰的山脈都高，則這段山脈是一個山峰。位於邊 緣的山脈只有一段相鄰的山脈，其他都有兩段（即左邊和右邊）。 類似地，如果一段山脈比所有它相鄰的山脈都低，則這段山脈是一個山谷。 地精們有一個共同的愛好——飲酒，酒館可以設立在山谷之中。地精的酒館 不論白天黑夜總是人聲鼎沸，地精美酒的香味可以飄到方圓數裏的地方。 地精還是一種非常警覺的生物，他們在每座山峰上都可以設立瞭望臺，並輪 流擔當瞭望工作，以確保在第一時間得知外敵的入侵。 地精們希望這N 段山脈每段都可以修建瞭望臺或酒館的其中之一，只有滿足 這個條件的整座山脈才可能有地精居住。 現在你希望知道，長度為N 的可能有地精居住的山脈有多少種。兩座山脈A 和B不同當且僅當存在一個 i，使得 Ai≠Bi。由於這個數目可能很大，你只對它 除以P的余數感興趣。

Input

僅含一行，兩個正整數 N, P。

Output

僅含一行，一個非負整數，表示你所求的答案對P取余 之後的結果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

對於 20%的數據，滿足 N≤10；
對於 40%的數據，滿足 N≤18；
對於 70%的數據，滿足 N≤550；
對於 100%的數據，滿足 3≤N≤4200，P≤109

Source

第一輪Day2

題解　

將題目簡化為1-n的所有排列中滿足高低交替出現的個數，可以用動態規劃實現。

我們用f[n][k]表示n個數，最後一個為k且最後兩個遞增，g[n][k]表示n個數最後一個數為k且最後兩個遞減。

對於f[n][k]，若我們將數列中每個數x換為n+1-x，則就成了g[n][n+1-k]，所以可得f[n][k]=g[n][n+1-k]。

那麽可得：

所以動態轉移方程為f[n][k]=f[n][k-1]+f[n-1][n-k+1]

由於對稱性，最終的答案為2ans。

但是題目範圍n<=4200，所以想到用滾動數組來壓縮空間，於是這道題就AC了。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdio>
 5
 
 #include<cmath>
 6 
 7 #define N 4307
 8 using namespace std;
 9 
10 int n,p;
11 int f[2][N],ans=0,x=0,y=1;
12 
13 int main()
14 {
15     scanf("%d%d",&n,&p);
16     if (n==1){cout<<1<<endl;return 0;}
17 
18     f[0][1]=1;
19     for (int i=2;i<=n;i++)
20     {
21         for (int j=1;j<=i;j++) f[y][j]=(f[y][j-1]+f[x][i-j+1])%p;
22         swap(x,y);
23     }
24     for (int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[x][i])%p;
25     ans=(ans*2)%p;
26     
27     printf("%d\n",ans);
28 }

bzoj 1925 [Sdoi2010]地精部落 dp