正交矩陣

如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。

定義編輯
如果：AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”。）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣， 若A為正交陣，則滿足以下條件:
1) AT是正交矩陣
2)  （E為單位矩陣）
3) A的各行是單位向量且兩兩正交
4) A的各列是單位向量且兩兩正交
5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6) |A| = 1或-1
7)  
正交矩陣通常用字母Q表示。
舉例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
則有：r11^2
 
+r21^2+r31^2=r12^2+r22^2+r32^2=r13^2+r23^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性質

定理編輯
1. 方陣A正交的充要條件是A的行（列) 向量組是單位正交向量組；
2. 方陣A正交的充要條件是A的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基；
3. A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
4. A的列向量組也是正交單位向量組。
5. 正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣。
在矩陣論中，實數正交矩陣是方塊矩陣Q，它的轉置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為 +1，則我們稱之為特殊正交矩陣

矩陣的跡

在線性代數中，一個n×n矩陣A的主對角線（從左上方至右下方的對角線）上各個元素的總和被稱為矩陣A的跡（或跡數），一般記作tr(A)

性質編輯
(1)設有N階矩陣A，那麽矩陣A的跡（用  表示）就等於A的特征值的總和，也即矩陣A的主對角線元素的總和。
1.跡是所有對角元的和
2.跡是所有特征值的和
3.某些時候也利用tr(AB)=tr(BA)來求跡
4.trace（mA+nB）=m trace（A）+n trace（B）
(2)奇異值分解（Singular value decomposition ）
奇異值分解非常有用，對於矩陣A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由對角陣與增廣行或列組成），滿足A = U*B*V
U和V中分別是A的奇異向量，而B是A的奇異值。AA
 
‘的特征向量組成U，特征值組成B‘B，A‘A的特征向量組成V，特征值（與AA‘相同）組成BB‘。因此，奇異值分解和特征值問題緊密聯系。
如果A是復矩陣，B中的奇異值仍然是實數。
SVD提供了一些關於A的信息，例如非零奇異值的數目（B的階數）和A的階數相同，一旦階數確定，那麽U的前k列構成了A的列向量空間的正交基。
(3)在數值分析中，由於數值計算誤差，測量誤差，噪聲以及病態矩陣，零奇異值通常顯示為很小的數目。
將一個矩陣分解為比較簡單或者性質比較熟悉的矩陣之組合，方便討論和計算。由於矩陣的特征值和特征向量在化矩陣為對角形的問題中占有特殊位置， 因此矩陣的特征值分解。盡管矩陣的特征值具有非常好的性質，但是並不是
總能正確地表示矩陣的“大小”。矩陣的奇異值和按奇異值分解是矩陣理論和應用中十分重要的內容，已成為多變量反饋控制系統最重要最基本的分析工具之一，奇異值實際上是復數標量絕對值概念的推廣， 表示了反饋控制系統的
輸出/輸入增益，能反映控制系統的特性。《魯棒控制.傾斜轉彎導彈》

行列式

行列式在數學中，是一個函數，其定義域為det的矩陣A，取值為一個標量，寫作det(A)或 | A | 。無論是在線性代數、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數學工具，都有著重要的應用。
行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾裏得空間中的推廣。或者說，在 n 維歐幾裏得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。

性質編輯
①行列式A中某行(或列)用同一數k乘,其結果等於kA。
②行列式A等於其轉置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。
③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。
④行列式A中兩行（或列）互換,其結果等於-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數後加到另一行（或列）中各對應元上，結果仍然是A。[1] 

數學定義

是由排成n階方陣形式的n2個數aij(i,j=1,2,...,n)確定的一個數，其值為n！項之和

式中k1,k2,...,kn是將序列1,2,...,n的元素次序交換k次所得到的一個序列，Σ號表示對k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和，那末數D稱為n階方陣相應的行列式.例如，四階行列式是4！個形為

的項的和，而其中a13a21a34a42相應於k=3,即該項前端的符號應為(－1)3.
　　若n階方陣A=（aij）,則A相應的行列式D記作
　　D=|A|=detA=det(aij)
　　若矩陣A相應的行列式D=0，稱A為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣.
　　標號集：序列1,2,...,n中任取k個元素i1,i2,...,ik滿足
　　1≤i1<i2<...<ik≤n(1)
　　i1,i2,...,ik構成{1,2,...,n}的一個具有k個元素的子列，{1,2,...,n}的具有k個元素的滿足(1)的子列的全體記作C(n,k),顯然C(n,k)共有  個子列.因此C(n,k)是一個具有個元素的標號集（參見第二十一章，1，二），C(n,k)的元素記作σ,τ,...,σ∈C(n,k)表示

　　σ={i1,i2,...,ik}
　　是{1,2,...,n}的滿足(1)的一個子列.若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),則σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk。

Orthogonal Matrix - 正交矩陣