矩陣分解---QR正交分解，LU分解
阿新 • • 發佈：2018-09-13
rect 同學 表達方式 play 位向量 frame 因此 log rgb 相關概念：
這其中， Q為正交矩陣，R為上三角矩陣。
實際中，QR分解經常被用來解線性最小二乘問題。
參考： https://blog.csdn.net/qq_30981697/article/details/71545519 https://blog.csdn.net/eric_e/article/details/80354834 來自為知筆記(Wiz)
- 正交矩陣：若一個方陣其行與列皆為正交的單位向量，則該矩陣為正交矩陣，且該矩陣的轉置和其逆相等。兩個向量正交的意思是兩個向量的內積為 0
- 正定矩陣：如果對於所有的非零實系數向量x ，都有 x‘Ax>0，則稱矩陣A 是正定的。正定矩陣的行列式必然大於 0， 所有特征值也必然 > 0。相對應的，半正定矩陣的行列式必然 ≥ 0。
QR分解
矩陣的正交分解又稱為QR分解，是將矩陣分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣的乘積的形式。任意實數方陣A，都能被分解為A=QR。這裏的Q為正交單位陣，即QTQ=I。R是一個上三角矩陣。這種分解被稱為QR分解。
QR分解也有若幹種算法，常見的包括Gram–Schmidt、Householder和Givens算法。
這其中， Q為正交矩陣，R為上三角矩陣。
實際中，QR分解經常被用來解線性最小二乘問題。
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計算方法：
- 對於非方陣的m∗n(m≥n)階矩陣A也可能存在QR分解。這時Q為m*m階的正交矩陣，R為m*n階上三角矩陣。這時的QR分解不是完整的(方陣)，因此稱為約化QR分解(對於列滿秩矩陣A必存在約化QR分解)。同時也可以通過擴充矩陣A為方陣或者對矩陣R補零，可以得到完全QR分解。
LU分解---三角分解
矩陣的LU分解是將一個矩陣分解為一個下三角矩陣與上三角矩陣的乘積。本質上，LU分解是高斯消元的一種表達方式。首先，對矩陣A通過初等行變換將其變為一個上三角矩陣。對於學習過線性代數的同學來說，這個過程應該很熟悉，線性代數考試中求行列式求逆一般都是通過這種方式來求解。然後，將原始矩陣A變為上三角矩陣的過程，對應的變換矩陣為一個下三角矩陣。這中間的過程，就是Doolittle algorithm(杜爾裏特算法)。
LU分解常用來求解線性方程組，求逆矩陣或者計算行列式。例如在計算行列式的時候，，。而對於三角矩陣來說，行列式的值即為對角線上元素的乘積。所以如果對矩陣進行三角分解以後再求行列式，就會變得非常容易。
在線性代數中已經證明，如果方陣是非奇異的，即的行列式不為0，LU分解總是存在的。
參考： https://blog.csdn.net/qq_30981697/article/details/71545519 https://blog.csdn.net/eric_e/article/details/80354834 來自為知筆記(Wiz)
矩陣分解---QR正交分解，LU分解