1. 如果矩陣滿足條件，那麽對任意,也滿足條件。
證明顯然。

設為奇數，我們現在構造一個n階幻方包含0到所有數

這裏x,y滿足同余式

待確定。

由於該方程組的系數矩陣的行列式為1，所以對任意i,j有唯一解。我們接下來確定a,b：

首先驗證每行每列的和均相等，即

由於對任意i,，當x取遍模n的剩余類時，也會取遍所有的剩余類

故每行的和為：
同理驗證每列。

對於對角線：令b = n - 1, a = (n-1)/2，可以驗證y = (n - 1)/2, x = i
所以其和為：n*(0 + ... n - 1) + n(n - 1)/2 = n(n-1)(n+1)/2 = n(n^2 - 1)/2

 1
 
 import java.util.Scanner;
 2 //奇數階幻方的實現
 3 public class Main {
 4     //n為用戶輸入的n階奇數幻方   n為奇數
 5     public static int[][] magicOdd(int n) {
 6         //構造一個（n+2）*（n+2）矩陣
 7         int[][] square = new int[n + 1][n + 1];
 8         int i = 0;
 9         int j = (n + 1) / 2;
10         //從第一行的中間那個數字（是1）開始填幻方
 
11         //n階幻方一共有n*n個數字（從1~n*n）
12         //奇數階幻方的實現算法
13         for (int key = 1; key <= n * n; key++) {
14             if ((key % n) == 1)
15                 i++;
16             else {      // //填充當前數的右上角那個數
17                 i--;
18                 j++;
19             }
20             if (i == 0) {      ////
 
判斷條件：若是在(n+2)*(n+2)階方陣的第一行
21                 i = n;
22             }
23             if (j > n) {
24                 j = 1;
25             }
26             square[i][j] = key;
27         }
28 
29         //對(n+2)*(n+2)階的方陣進行篩選出中間的n*n階幻方
30 
31         int[][] matrix = new int[n][n];
32 
33         for (int k = 0; k < matrix.length; k++) {
34 
35             for (int l = 0; l < matrix[0].length; l++) {
36                 matrix[k][l] = square[k + 1][l + 1];
37             }
38         }
39         return matrix;
40     }
41     public static void main(String[] args) {
42         Scanner a = new Scanner(System.in);
43         int b = a.nextInt();
44         //b為用戶輸入的奇數
45         System.out.println();
46         int[][] magic = Main.magicOdd(b);
47         for (int k = 0; k < magic.length; k++) {
48             for (int l = 0; l < magic[0].length; l++) {
49                 System.out.print(magic[k][l] + "    ");
50             }
51             System.out.println();
52         }
53     }
54 }

求N奇數階幻方