描述： 我們可以用2*1的小矩形橫著或者豎著去覆蓋更大的矩形。請問用n個2*1的小矩形無重疊地覆蓋一個2*n的大矩形，總共有多少種方法？

思路： 這種題開始肯定要找規律， 看了看， n = 1時， 一種方法； n = 2時， 兩種方法； n = 3時，三種方法； n = 4時， 五種方法； ... ； 很自然想起了斐波那契數列。

證明一下：

設 n 列一共有 f(n) 種無重疊的覆蓋方法，先上一個自己畫的圖方便理解。

1、對於n > 2的情況：首先我們可以知道小矩形是2 * 1，整個矩形為2 * n，所以我們在填充的時候只有橫著填充跟豎著填充。 所以思路就是將從第1列填充到第n列的情況分解.

怎麽分解呢，然後我又畫了下面這個圖， 方便理解。

我想求從A到G總共多少中走法，咋求呢？ 我先分解， 在第一步我有兩種走法， 要麽走B要麽走C，然後B往後又有兩種走法，C往後又有...

所以，說這麽多，對於矩形填充所有情況， 那麽先走第一步， 兩種情況：豎著放或者橫著放。

（1）對於第一步豎著放： 直接占據一豎列就OK了， 然後還剩下 n-1 列， 而n-1 列有 f(n-1) 種填充方法， 所以第一步豎著放總共有 1 * f(n-1) = f(n-1) 種方法；

（2）對於第一步橫著放： 先放一個 2 * 1 小矩形，讓它占據第一行第一、二列， 此時還剩下 n-2 列加上一個第二行第一、二列的區域。 我們難以用科學的方法表示出來， 怎麽辦？那就繼續分解。

對於第二行第一、二列的區域，我們只存在唯一方式就是橫著放上小矩形， 這樣操作之後還剩下 n-2 列有 f(n-2) 種填充方法， 所以第一步橫著放總共有 1 * 1 * f(n-2) = f(n-2) 種方法。

那麽好了， 將這兩個合並就是n列一共的方法數了， 即 f(n-1) + f(n-2) = f(n) 。看到這個式子是不是很熟， 對， 斐波那契數列。

2、那好，現在考慮到 n = 2 的情況， 不用 f(n-1) + f(n-2) = f(n) 這個公式， 更不要直接窮舉， 用1中的思想考慮，可以得到： f(2) = 1 + 1 * 1 = 2 。

那現在可以寫代碼了：

 1
 
 class Solution {
 2 public:
 3     int rectCover(int number) {
 4         if(number < 3)
 5             return number;
 6         int first = 1;
 7         int second = 2;
 8         for(int i = 3; i <= number; i++)
 9         {
10             second = first + second;
11             first = second - first;
12         }
13         return second;
14     }
15 };

順便想一下， 假如用 3 * 1 的小矩形填充 3 * n 的大矩形呢？

我們還是用 f(n) 表示 n 列的所有方法，第一步還是分兩種情況：

（1）橫著放： 橫著放占了三列， 剩下 n-3 列， 總共情況為 1 * 1 * f(n-3) = f(n-3)；

（2）豎著放： 豎著放了一列， 剩下 n-1 列， 總共情況為 1 * f(n-1) = f(n-1) 。

所以 f(n) = f(n-1) + f(n-3) 。

接下來還有其他變形都OK了。

刷題11 矩形覆蓋問題