公約數數列

【問題描述】

設計一個數據結構. 給定一個正整數數列 a_0, a_1, ...,a_{n - 1}，你需要支持以下兩種操作：

1. MODIFY id x: 將 aid 修改為 x.

2. QUERY x: 求最小的整數 p (0 <= p < n)，使得 gcd(a_0,a_1, ..., a_p) * XOR(a_0, a_1, ..., a_p) = x. 其中 XOR(a_0, a_1, ..., a_p) 代表 a_0, a_1, ..., a_p 的異或和，gcd表示最大公約數。

【輸入格式】

從gcdxor.in中讀入。

輸入數據的第一行包含一個正整數 n.

接下來一行包含 n 個正整數 a0,a1,...,an−1.

之後一行包含一個正整數 q，表示詢問的個數。

之後 q 行，每行包含一個詢問。格式如題目中所述。

【輸出格式】

輸出到gcdxor.out中

對於每個 QUERY 詢問，在單獨的一行中輸出結果。如果不存在這樣的 p，輸出 no.

【樣例輸入】

10

1353600 5821200 10752000 1670400 3729600

6844320 12544000 117600 59400 640

10

MODIFY 7 20321280

QUERY 162343680

QUERY 1832232960000

MODIFY 0 92160

QUERY 1234567

QUERY 3989856000

QUERY 833018560

MODIFY 3 8600

MODIFY 5 5306112

QUERY 148900352

【樣例輸出】

6

0

no

2

8

8

【數據規模與約定】

對於 30% 的數據，n <= 10000，q <= 1000.

對於 100% 的數據，n <= 100000，q <= 10000，a_i <= 10^9 (0 <= i < n)，QUERY x 中的 x <= 10^18，MODIFY id x 中的 0 <= id< n，1 <= x <= 10^9.

這道題應該還是比較容易往分塊那裏去想的。

然而我還是看了題解。

對於代碼中各變量的含義：len塊大小，cnt塊個數，pos當前位置屬於哪個塊，l第i個塊的左端點，r右端點，xx第i個塊所有元素異或和，g第i個塊所有元素gcd。

首先我們需要知道一個性質，就是前綴的gcd是單調不增的。那麽對於第i個塊，令前i-1個塊的gcd為x，前i個塊gcd為y，如果x==y，那麽意味著i這個塊內所有元素的前綴gcd都為x，因為前綴gcd是單調不增的。那麽我們如果知道前i-1個塊的異或和是多少，就可以判斷當前塊i中是否存在一個位置滿足題意。記前i-1個塊的異或和為lsxor(枚舉塊時記錄即可),要查詢的值為H，那麽如果存在一個位置j符合題意，記u為j到其所在塊左端點的異或和，則有x*(lsxor^u)=H，u=(H/x)^lsxor。右面的數字是已知的，所以我們可以用一個map來判斷是否存在這樣一個j。復雜度log

如果x!=y，暴力枚舉查詢即可。因為每一次x!=y，y至少變為x的一半，也就是最多出現log次這種情況。所以復雜度是sqrt(n)log^2。

對於修改操作，我們暴力修改並重新更新map，xx，g等數組即可，復雜度sqrt(n)log。

所以整體復雜度大概是nsqrt(n)log^2的，雖然我不知道為什麽能過...講道理用map會tle，但cogs氧氣足...

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 const int inf=100005;
 5 int n,q,a[inf];
 6 int len,cnt,pos[inf],l[inf/100],r[inf/100],xx[inf/100],g[inf/100];
 7 map<int,int>S[inf/100];
 8 int gcd(int x,int y){
 9     return !y?x:gcd(y,x%y);
10 }
11 void change(){
12     int id,x;
13     scanf("%d%d",&id,&x);
14     id++;
15     int now=pos[id];
16     S[now].clear();
17     a[id]=x;
18     int xo=0,gc=a[l[now]];
19     for(int i=l[now];i<=r[now];i++){
20         xo^=a[i];
21         gc=gcd(gc,a[i]);
22         if(S[now].find(xo)==S[now].end())S[now][xo]=i;
23     }
24     g[now]=gc;
25     xx[now]=xo;
26 }
27 int work(){
28     ll x;
29     scanf("%lld",&x);
30     int lsgcd=a[1],lsxor=0;
31     for(int i=1;i<=r[1];i++){
32         lsxor^=a[i];
33         lsgcd=gcd(lsgcd,a[i]);
34         if(1ll*lsxor*lsgcd==x)return i;
35     }
36     for(int i=2;i<=cnt;i++){
37         if(gcd(g[i],lsgcd)==lsgcd){
38             if(x%lsgcd==0){
39                 int u=(1ll*x/lsgcd)^lsxor;
40                 if(S[i].find(u)!=S[i].end())return S[i][u];
41             }
42             lsgcd=gcd(lsgcd,g[i]);
43             lsxor^=xx[i];
44         }
45         else {
46             for(int j=l[i];j<=r[i];j++){
47                 lsxor^=a[j];
48                 lsgcd=gcd(lsgcd,a[j]);
49                 if(1ll*lsxor*lsgcd==x)return j;
50             }
51         }
52     }
53     return 0;
54 }
55 int main()
56 {
57     scanf("%d",&n);
58     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
59     len=sqrt(n);
60     for(int i=1;i<=n;i++){
61         cnt=pos[i]=(i-1)/len+1;
62         if(pos[i]!=pos[i-1])l[cnt]=i;
63         r[cnt]=i;
64     }
65     for(int i=1;i<=cnt;i++){
66         int xo=0,gc=a[l[i]];
67         for(int j=l[i];j<=r[i];j++){
68             xo^=a[j];
69             gc=gcd(gc,a[j]);
70             if(S[i].find(xo)==S[i].end())S[i][xo]=j;
71         }
72         g[i]=gc;
73         xx[i]=xo;
74     }
75     scanf("%d",&q);
76     for(int i=1;i<=q;i++){
77         char s[20];
78         scanf("%s",s);
79         if(s[0]==‘M‘)change();
80         else {
81             int ans=work();
82             if(ans)printf("%d\n",ans-1);
83             else printf("no\n");
84         }
85     }
86     return 0;
87 }

[HEOI2015]公約數數列