題目傳送門。

題意：求\([1,n!]\)中與\(m!\)互質的數的個數，對質數\(R\)取模，\(n\geq m\)。

答案應該等於\(\frac{n!}{m!}\phi(m!)=\frac{n!}{m!}m!\prod_{p|m!}\frac{p-1}{p}=n!\frac{\prod_{p\leq m}\,p-1}{\prod_{p\leq m}\,p}\)。

這裏\(p\)為小於等於\(m\)的質數。

所以我們處理出階乘，以及質數的乘積和對\(R\)的逆元就能得出答案。

你真的這麽想？

naive！simple！

如果\(n\geq R\)，答案一定為\(0\)嗎？

可以看看這組數據：

1
 
 3
4 3

答案為\(2\)，因為\(8\,mod\,3=2\)。

但是\(4!\frac{1\cdot 2}{2\cdot 3}\)呢？\(4!=24\)，而\(24\,mod\,3=0\)，但是答案非\(0\)。

正確的做法是什麽？

當\(n\geq R\)時，如果\(m\geq R\)的話，\(n!\)中的因子\(R\)就有可能被分母消掉，我們應該要對\(n\geq R\)的\(n!\)消掉一個\(R\)，對\(m\geq R\)的分母也消掉一個\(R\)。

這樣就不會有問題了。

代碼如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 3
 
 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
 4 int T,Mod,n,m;
 5 int primes[664580], pnum=0;
 6 bool isn_prime[10000001];
 7 int pi[664580],inv[10000001];
 8 int in[664580],fct[10000001];
 9 int pos[10000001];
10 void init(){
11     isn_prime[0]=isn_prime[1]=1;
12     F(i,2,10000000){
13         if(!isn_prime[i]) primes[++pnum]=i;
14
 
         for(int j=1;j<=pnum&&primes[j]*i<=10000000;++j){
15             isn_prime[primes[j]*i]=1;
16             if(i%primes[j]==0) break;
17         }
18     }
19     inv[1]=1; for(int i=2;i<Mod&&i<=10000000;++i)
20         inv[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
21     pi[0]=1; F(i,1,pnum) pi[i]=1ll*pi[i-1]*(primes[i]-1)%Mod;
22     in[0]=1; F(i,1,pnum) if(primes[i]!=Mod) in[i]=1ll*in[i-1]*inv[primes[i]%Mod]%Mod; else in[i]=in[i-1];
23     fct[0]=1; F(i,1,10000000) if(i!=Mod) fct[i]=1ll*fct[i-1]*i%Mod; else fct[i]=fct[i-1];
24     F(i,2,10000000) if(isn_prime[i]) pos[i]=pos[i-1]; else pos[i]=pos[i-1]+1; 
25 }
26 int main(){
27     scanf("%d%d",&T,&Mod);
28     init();
29     while(T--){
30         scanf("%d%d",&n,&m);
31         if(n>=Mod&&m<Mod) puts("0");
32         else printf("%d\n",1ll*fct[n]*pi[pos[m]]%Mod*in[pos[m]]%Mod);
33     }
34     return 0;
35 }

【bzoj題解】2186 莎拉公主的困惑