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BZOJ 4380

題面

有n家洗車店從左往右排成一排，每家店都有一個正整數價格p[i]。
有m個人要來消費，第i個人會駛過第a[i]個開始一直到第b[i]個洗車店，且會選擇這些店中最便宜的一個進行一次消費。但是如果這個最便宜的價格大於c[i]，那麽這個人就不洗車了。
請給每家店指定一個價格，使得所有人花的錢的總和最大。

Input
第一行包含兩個正整數n,m(1<=n<=50，1<=m<=4000)。
接下來m行，每行包含三個正整數a[i],b[i],ci

Output
第一行輸出一個正整數，即消費總額的最大值。
第二行輸出n個正整數，依次表示每家洗車店的價格p[i]，要求1<=p[i]<=500000。

題解

這道題……是一個正常的（？）區間DP。

先將所有c[i]離散化。

f[i][j][k]表示區間[i, j]內的店、最低價格為k，能取到的最大價值。這個最大價值包括所有“完全包含在[i, j]”內的顧客提供的價值。

g[i][j][k]表示區間[i, j]內的店、最低價格>=k，能取到的最大價值。

轉移的時候，枚舉最低價格k所在的位置p，采取類似分治的思想，設完全包含在[i, j]內、橫跨位置p、且c[i] >= k的顧客有cnt[p][k]個，那麽有：
\[f[i][j][k] = max_{p = i}^{j} g[i][p - 1][k] + g[p + 1][j][k] + k * cnt[p][k]\]

這個cnt數組在每次枚舉[i, j]的時候都預處理一下。

因為要輸出方案，所以額外記錄一下最優解都是在哪裏取到的，最後dfs求出方案。

總復雜度是\(O(n^3m)\)。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
template
 
 <class T>
void read(T &x){
    char c;
    bool op = 0;
    while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
        if(c == '-') op = 1;
    x = c - '0';
    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
        x = x * 10 + c - '0';
    if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);  
}

const int N = 52, M = 4002;
int n, m, a[M], b[M], c[M], cnt[N][M], ans[N], lst[M], idx, f[N][N][M], g[N][N][M], gk[N][N][M];
short fp[N][N][M];

void dfs(int l, int r, int k){
    int val = gk[l][r][k], pos = fp[l][r][val];
    ans[pos] = lst[val];
    if(pos > l) dfs(l, pos - 1, val);
    if(pos < r) dfs(pos + 1, r, val);
}

int main(){
    
    read(n), read(m);
    for(int i = 1; i <= m; i++) 
        read(a[i]), read(b[i]), read(c[i]), lst[i] = c[i];
    sort(lst + 1, lst + m + 1);
    idx = unique(lst + 1, lst + m + 1) - lst - 1;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        c[i] = lower_bound(lst + 1, lst + idx + 1, c[i]) - lst;
    for(int i = n; i; i--)
        for(int j = i; j <= n; j++){
            for(int k = 1; k <= idx; k++)
                for(int h = i; h <= j; h++)
                    cnt[h][k] = 0;
            for(int k = 1; k <= m; k++)
                for(int h = i; h <= j; h++)
                    if(a[k] >= i && a[k] <= h && b[k] >= h && b[k] <= j) 
                        cnt[h][c[k]]++;
            for(int h = i; h <= j; h++)
                for(int k = idx; k; k--)
                    cnt[h][k] += cnt[h][k + 1];
            for(int k = 1; k <= idx; k++)
                for(int p = i; p <= j; p++)
                    if(g[i][p - 1][k] + g[p + 1][j][k] + lst[k] * cnt[p][k] >= f[i][j][k])
                        fp[i][j][k] = p, f[i][j][k] = g[i][p - 1][k] + g[p + 1][j][k] + lst[k] * cnt[p][k];
            for(int k = idx; k; k--){
                if(g[i][j][k + 1] > f[i][j][k])
                    gk[i][j][k] = gk[i][j][k + 1], g[i][j][k] = g[i][j][k + 1];
                else
                    gk[i][j][k] = k, g[i][j][k] = f[i][j][k];
            }
        }
    write(g[1][n][1]), enter;
    dfs(1, n, 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        write(ans[i]), i == n ? enter: space;
    
    return 0;
}

BZOJ 4380 [POI2015]Myjnie | DP