很久之前我就想過怎麽快速在二維平面上查找一個區域的信息，思考許久無果，只能想到幾種優秀一點的暴力。

Kd樹就是幹上面那件事的。

別的不多說，趕緊把自己的理解寫下來，免得涼了。

KD樹的組成

以維護k維空間(x,y,……)內的KD樹為例，主要由一下三部分組成：

1. p[k]，代表樹上這個結點所儲存的點(在題目中給出的/你自己加上的點集中的一個點)。
2. ch[2]，表示它的子結點(沒錯，KD樹是一棵二叉樹)
3. mi[k]與mx[k]，mi/mx[i]代表KD樹這個結點統轄的所有點的第i-1範圍。比如說mi[1]=2,mx[1]=4，就代表這棵樹統轄的點的y坐標都在[2,4]內。

不看mi和mx，長得就和splay/trie樹一樣，一個p維護當前節點，一個ch[2]記錄左右兒子。

不看p[k]，長得就和線段樹一樣，有左右兒子和區間信息。

沒錯，KD樹形功能如線段樹，結點維護區域信息；形態如splay/trie樹，每個結點有實際的值和意義。

KD樹的構建

一般題目都是二維平面。下面就以二維平面KD樹的構建為例。

讀入把點存進結構體數組a中，坐標分別為a[x].p[i]。

inline void build(int &x,int l,int r,int type){
  x=(l+r)>>1;now=type;
  nth_element(a
 
+l,a+x,a+r+1,cmp);
  nd=a[x];newnode(x);
  if(l<x)build(ch[x][0],l,x-1,type^1);else ch[x][0]=0;
  if(x<r)build(ch[x][1],x+1,r,type^1);else ch[x][1]=0;
  pushup(x);
}

build(kd.root,1,n,0);

非常優美……對type、now作用不明的同學請繼續閱讀……你要現在就明白就奇怪了

系統函數nth_element(a+l,a+x,a+r+1)，頭文件algorithm，需定義＜或cmp函數。

作用：把排序後第x大的放到第x位，比它小的放進左邊，比它大的放進右邊(兩邊無序)。

註意區間開閉：左閉右開，中間也是閉合的。

復雜度：平均，期望是O(n)？可以接受。

下面給出cmp、newnode、pushup代碼。

struct Node{int p[2],mi[2],mx[2];}a[N];
inline bool cmp(const Node &a,const Node &b){return a.p[now]<b.p[now];}
inline void Min(int &x,int y){x=x<y?x:y;}
inline void Max(int &x,int y){x=x>y?x:y;}
inline void pushup(int x){
  int ls=ch[x][0],rs=ch[x][1];
  if(ls){
    Min(T[x].mi[0],T[ls].mi[0]);Max(T[x].mx[0],T[ls].mx[0]);
    Min(T[x].mi[1],T[ls].mi[1]);Max(T[x].mx[1],T[ls].mx[1]);
  }
  if(rs){
    Min(T[x].mi[0],T[rs].mi[0]);Max(T[x].mx[0],T[rs].mx[0]);
    Min(T[x].mi[1],T[rs].mi[1]);Max(T[x].mx[1],T[rs].mx[1]);
  }
}

inline void newnode(int x){
  T[x].p[0]=T[x].mi[0]=T[x].mx[0]=nd.p[0];
  T[x].p[1]=T[x].mi[1]=T[x].mx[1]=nd.p[1];
}

不要問我為什麽辣麽長，為了減常沖榜，把循環展開了……

聰明的讀者已經發現KD樹的構建巧妙之處。它不是純粹按照x維，或者某一維排序，而是先豎著分一下，再橫著分，再豎著分……

這樣分割的區域更加整齊劃一更加均勻，不像上面的劃分，到最會變成一條條長條，KD樹劃分到底還是很好看的。

這樣分割有什麽好處呢？等你真正領悟了KD樹的精髓之後你就會發現……嘿嘿嘿……

KD樹的操作

1.往KD樹上插點

插點可以分為插新點和插老點。如果有老點，特判一句，把信息覆蓋即可。

inline void insert(int &x,int type){
  if(!x){x=++cnt,newnode(cnt);return;}
  if(nd.p[0]==T[x].p[0] && nd.p[1]==T[x].p[1]){
    ……(自行維護);return;
  }
  if(nd.p[type]<T[x].p[type])insert(ch[x][0],type^1);
  else insert(ch[x][1],type^1);
  pushup(x);
}

依然非常的美妙……等等有什麽不對？

我們能估計出一棵剛建好的KD樹深度是O(log)的。

但你這麽隨便亂插……有道題叫HNOI2017 spaly 插入不旋轉的單選splay見過？T成茍。

這都不是問題！知不知道有一種數據結構叫做替罪羊樹哇？

知道替罪羊樹怎麽保證復雜度的嗎？

重構！大力重構！自信重構！不爽就重構！

為了省事大概沒插入10000次就重構一次好了……

if(kd.cnt==sz){
  for(int i=1;i<=sz;++i)a[i]=kd.T[i];
  kd.rebuild(kd.root,1,sz,0);sz+=10000;
}

2.在KD樹上查詢

• 如果是單點(給定點)查詢：
  • 太簡單啦！
• 如果是查詢距離一個點(x‘,y‘)最近的點(曼哈頓距離，|x-x‘|+|y-y‘|)：
  • 首先我們看暴力的剪枝：按某一維排序，如果該維的差過大就不管了。
  • 而令我們期待的KD樹呢？呃不好意思，它也是這麽做的……
  • 我們維護過兩個叫做mi[]和mx[]的東西吧……這個時候就是它派上用場了。
  • 具體還請看代碼吧：

    //查詢的點(x‘,y‘)儲存在nd中。
    //這裏的l,r就是mi,mx的意思。
    inline int dis(Node p,int x,int ans=0){
      for(int i=0;i<2;++i)
        ans+=max(0,t[x].l[i]-p.p[i])+max(0,p.p[i]-t[x].r[i]);
      return ans;
    }
    
    inline void query(int x){
      Ans=min(Ans,abs(t[x].p[0]-nd.p[0])+abs(t[x].p[1]-nd.p[1]));
      int dl=ch[x][0]?dis(nd,ch[x][0]):Inf;
      int dr=ch[x][1]?dis(nd,ch[x][1]):Inf;
      if(dl<dr){
        if(dl<Ans)query(ch[x][0]);
        if(dr<Ans)query(ch[x][1]);
      }
      else{
        if(dr<Ans)query(ch[x][1]);
        if(dl<Ans)query(ch[x][0]);
      }
    }

  • dis():如果當前點在這個區間內就是0，否則就是最極的點到它的距離。
  • 聰明絕頂的你已經發現了……這TM就是個暴力。
  • 當暴力有了時間復雜度證明……還叫暴力麽？讀書人的事，能叫偷麽？
  • 這麽暴力有幾個好處：不用枚舉所有點；剪枝有效及時。
  • 復雜度有保障，大概在O(√n)級別。
• 如果是區間查詢，以區間查詢點權和為例(之前就有維護好)：

  • inline bool in(int l,int r,int xl,int xr){return l<=xl && xr<=r;}
    inline bool out(int l,int r,int xl,int xr){return xr<l || r<xl;}
    
    inline int query(int x,int x1,int y1,int x2,int y2){
      int ans=0;if(!x)return ans;
      if(in(x1,x2,T[x].mi[0],T[x].mx[0]))
        if(in(y1,y2,T[x].mi[1],T[x].mx[1]))
          return T[x].sum;
      if(out(x1,x2,T[x].mi[0],T[x].mx[0]))return 0;
      if(out(y1,y2,T[x].mi[1],T[x].mx[1]))return 0;
      if(in(x1,x2,T[x].p[0],T[x].p[0]))
        if(in(y1,y2,T[x].p[1],T[x].p[1]))
          ans+=T[x].val;
      return ans+query(ch[x][0],x1,y1,x2,y2)+query(ch[x][1],x1,y1,x2,y2);
    }

  • 別看代碼長又看起來復雜，寫起來跟線段樹似的，還是一樣的暴力搞。

KD樹的基本姿勢大概就是這個樣子……例題有"SJY擺棋子"、"簡單題"等。

KD樹小結