題目大意：給你一個子串，其在2^k方的十進制表示中出現過（後100位），讓我們求k（k<10^50）

原題鏈接

SOL ：

設a長度為n。
可以嘗試構造一個數b，使得a⋅10^m+b成為其後綴。

令 x= a⋅10^m+b，則x=2^k(mod 10^(n+m))

我們發現 2^(n+m)|x,且 not(5|x),

我們先枚舉m ,令 X= a⋅10^m+b，y=a⋅10^m，我們發現y不總是滿足上述性質，那麽我們就對b做出約束：

如果 NOT(2^(N+M)|y) X=y+(2^(N+M)-y%2^(N+M)),

如果 5|X ，我們令 X=y+2^(M+N)

那麽我們便把X構造出來了，那麽我們就只有一個問題了，那就是怎麽求K？

2^K=X(mod 10^(n+m)),同除上2^(N+M),那麽我們得到：

2^(K-M-N)=X/(2^(N+M))(mod 5^（N+M))

這個柿子，我們對其取對數，簡記R=X/(2^(N+M)) 得到：

K-M-N=log2 R（mod 5^（N+M））（這一步牽扯到2個知識點:原根 和 離散對數 ）//先掛著dalao的博客吧，以後有空會補的。

那麽我們的問題就是求log2 R

我們知道2 是 5 的原根，那麽2 也是 5^i 的原根。（不失一般性，我們有 p 是姬（奇）質數，q為其原根，那麽q也是 p^l 的原根。l是正整數 ）。

由於數量比較大，傳統的baby_step_giant_step算法 過不了，怎麽破？（傳統算法點這裏）

那麽我們有一個比較厲害的柿子：

設dy,i為模pi意義下的log（g）y，存在 j 滿足 di+1=di+j*φ(pi),j∈[0,p)。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
int len(LL x){int a=0; for (;x;a++,x/=10); return a;}
LL mul(LL x,LL y,LL mo){
    LL anw
 
=0;
    for (;y>0;y>>=1,x=(x<<1)%mo) 
     if (y&1) (anw+=x)%=mo;
    return anw;
}
LL qsm(LL x,LL y,LL mo){
    LL anw=1;
    for (;y>0;y>>=1,x=mul(x,x,mo)) 
     if (y&1) anw=mul(anw,x,mo);
    return anw;
}
#define sight(c) (‘0‘<=c&&c<=‘9‘)
inline void read(int &x){
    static char c;
    for (c=getchar();!sight(c);c=getchar());
    for (x=0;sight(c);c=getchar())x=x*10+c-48;
}
inline void read(LL &x){
    static char c;
    for (c=getchar();!sight(c);c=getchar());
    for (x=0;sight(c);c=getchar())x=x*10+c-48;
}
void write(LL x){if (x<10) {putchar(‘0‘+x); return;} write(x/10); putchar(‘0‘+x%10);}
inline void writeln(LL x){ if (x<0) putchar(‘-‘),x*=-1; write(x); putchar(‘\n‘); }
LL n,l,x,T,tp,mo,y,t,k,p5;
int main () {
    read(T);
    while (T--) {
        read(k); n=len(k);
        tp=1;
        for (int m=0;;m++) {
            x=k; mo=1ll<<(n+m);
            if (x%mo) x+=mo-x%mo;
            if (!(x%5))x+=mo;
            if ((!(x%mo))&&x%5&&x-k<tp){
                y=x>>(n+m); t=0; p5=5;
                if (y%5==1) t=0; if (y%5==2) t=1;
                if (y%5==3) t=3; if (y%5==4) t=2;
                for (int i=1;i<n+m;i++){
                    while (qsm(2,t,p5*5)!=y%(p5*5)) t+=p5/5*4;
                    p5*=5;
                }
                writeln(t+n+m);
                break;
            }
            k*=10,tp*=10;
        }
    }
}

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