[HAOI 2011]Problem b
Description
對於給出的n個詢問,每次求有多少個數對(x,y),滿足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函數為x和y的最大公約數。Input
第一行一個整數n,接下來n行每行五個整數,分別表示a、b、c、d、k
Output
共n行,每行一個整數表示滿足要求的數對(x,y)的個數
Sample Input
22 5 1 5 1
1 5 1 5 2
Sample Output
143
HINT
100%的數據滿足:1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1≤c≤d≤50000,1≤k≤50000
題解
記 $f(x, y)$ 為滿足 $gcd(i,j)=k$ 的數對 $(i,j)~~(i\in[1,x],j\in[1,y])$ 的個數。
由容斥原理,答案就是 $ans=f(b,d)-f((a-1),d)-f(b,(c-1))+f((a-1),(c-1))$ 。
我們現在考慮如何求 $f(x,y)$ 。
我們按照以往的套路,將 $k$ 提出,顯然 $$f(a,b)=\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{a}{k} \right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{b}{k} \right\rfloor}[gcd(i,j)=1]$$
由公式 $\sum_{d\mid n} \mu(d)=[n=1]$ ,我們得到
$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{a}{k} \right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{b}{k} \right\rfloor}\sum_{d\mid gcd(i,j)}\mu(d)$$
我們將 $\mu$ 提前
\begin{aligned} &\Rightarrow\sum_{d=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{a}{k} \right\rfloor,\left\lfloor\frac{b}{k} \right\rfloor\right\}}\mu(d)\sum_{i=1,d\mid i}^{\left\lfloor\frac{a}{k} \right\rfloor}\sum_{j=1,d\mid j}^{\left\lfloor\frac{b}{k}\right\rfloor}1\\&\Rightarrow\sum_{d=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{a}{k} \right\rfloor,\left\lfloor\frac{b}{k} \right\rfloor\right\}}\mu(d)\cdot\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{a}{k}\right\rfloor}{d}\right\rfloor\cdot\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{b}{k}\right\rfloor}{d}\right\rfloor\end{aligned}
得到這個式子還有第二個方Fa♂,這裏也提一下。
令 $F(d)$ 為 $d\mid gcd(i,j)$ 的數對 $(i,j)$ 個數, $f(d)$ 為 $d=gcd(i,j)$ 的數對 $(i,j)$ 個數。
由題 $$F(k)=\sum_{d=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{a}{k}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{b}{k} \right\rfloor\right\}}f(kd)$$
由莫比烏斯反演定理 $F(n)=\sum_{n\mid d} f(d)\Rightarrow f(n)=\sum_{n\mid d} \mu(\frac{d}{n})F(d)$
\begin{aligned}\Rightarrow f(k)&=\sum_{d=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{a}{k}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{b}{k}\right\rfloor\right\}}\mu(d)F(kd)\\&=\sum_{d=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{a}{k} \right\rfloor,\left\lfloor\frac{b}{k}\right\rfloor\right\}}\mu(d)\cdot\left\lfloor\frac{a}{kd}\right\rfloor\cdot\left\lfloor\frac{b}{kd}\right\rfloor\end{aligned}
那麽我們現在只需要 $O(n)$ 的枚舉 $d$ 就可以了,但對於多組詢問,這個復雜度還是吃不消的。
我們考慮在計算的時候 $\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor}{d}\right\rfloor$ 是一個分段的,有較長的一段區間內的數是相等的。可以證明這段區間的長度是 $\sqrt{n}$ 的。
證明:
1.當 $1\leq d < \sqrt n$ 時, $d$ 就只有 $\sqrt n$ 個, $\left\lfloor{n \over d}\right\rfloor$ 最多有 $\sqrt n$ 個。
2.當 $\sqrt n \leq d \leq n$ 時,由於 $\left\lfloor{n \over d}\right\rfloor$ 小於 $\sqrt n$ ,所以 $\left\lfloor{n \over d}\right\rfloor$ 最多有 $\sqrt n$ 個。
證畢。
顯然對於一段區間內 $\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{a}{k}\right\rfloor}{d}\right\rfloor$ 和 $\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{b}{k}\right\rfloor}{d}\right\rfloor$ 相同的數我們可以直接處理 $\mu$ 的前綴,直接求即可。而相同值的區間的右端點為 $\left\lfloor \frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{d} \right\rfloor} \right\rfloor$ 。
證明:
對於 $n$ 來說,找到最大的 $j$ 滿足 $$\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor \leq\left\lfloor\frac{n}{j}\right\rfloor$$
化簡一下得到 $$j\leq \left\lfloor\frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor$$
那麽在計算時在分別關於 $a, b$ 的表達式中取一個較小值即可。時間復雜度 $O(n\sqrt n)$ 。
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[HAOI 2011]Problem b