題目連結

題意：
給你 $n$，求 ${\sum }_{i=1}^{}$

題解：
對於 $\sum_{i=1}^n\mu(i^2)$，這個東西的值其實就是1。。。原因是除了 $\mu(1)=1$以外，其他都因為是某個數的平方，所以都含平方因子，於是值都是0。

重點就是求 $\sum_{i=1}^n\phi(i^2)$。我們知道， $\phi(n)=n*\prod_{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}$，所以 $\phi(n^2)=n^2*\prod_{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}=n*\phi(n)$，也就可以轉化成求 $\sum_{i=1}^nid(i)*\phi(i)$。

然後我們考慮用杜教篩來篩這個東西。我們考慮構造 $g$，我們選擇 $id$作為 $g$函式，這樣我們有 $h(i)=f(i)*g(i)$
$h(i)=\sum_{d|i}(id(d)*\phi(d))*id(\frac{i}{d})=i\sum_{d|i}\phi(d)=i^2$
帶入杜教篩的式子可得： $S(n)=\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{i=2}^nid(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$，前面的可以用平方求和公式，後面的可以用等差數列+整除分塊和遞迴下去做就好了。

程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int phi[1000010],vis[1000010],p[1000010],cnt;
map<long long,long long> mp;
long long ni,ans,ni2,n,sum[1000010];
const long long mod=1e9+7;
inline long long ksm(long long x,long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
		res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
inline long long calc(long long x)
{
	if(x<=1000000)
	return sum[x];
	if(mp[x])
	return mp[x];
	long long r,res=0;
	res=x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*ni%mod;
	for(long long l=2;l<=x;l=r+1)
	{
		r=x/(x/l);
		res=(res-1ll*(r-l+1)*(r+l)%mod*ni2%mod*calc(x/l)%mod)%mod;
		res=(res+mod)%mod;
	}
	mp[x]=res;
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	printf("1\n");
	phi[1]=1;
	sum[1]=1;
	for(int i=2;i<=1000000;++i)
	{
		if(!vis[i])
		{
			p[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<=1000000;++j)
		{
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)
			{
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
		sum[i]=(sum[i-1]+(long long)i*phi[i])%mod;
	}
	ni=ksm(6,mod-2);
	ni2=ksm(2,mod-2);
	printf("%lld\n",calc(n));
	return 0;
}