·問題描述·

　　有一個密碼箱，0到n-1中的某些數是它的密碼。且滿足：如果a和b都是它的密碼，那麽（a+b）%n也是它的密碼。某人試了k次密碼，前k-1次都失敗了，最後一次成功。

　　問：該密碼箱最多有多少個密碼？

·輸入格式·

　　輸入第一行兩個整數分別表示n，k。

　　第二行為k個用空格隔開的非負整數，表示每次試的密碼。（數據保證存在合法解）

·輸出格式·

　　輸出一行一個數，表示結果。

·輸入樣例·

42 5

28 31 10 38 24

·輸出樣例·

14

·數據範圍·

對於100%的數據：1<=k<=250000，k<=n<=10^14。

Solution：

　　本題考察數學。由題意可知，若x為密碼則（x+x）%n為密碼，則p*x%n（0<p<n）也為密碼。而對於p*x%n=q，等價於p*x-n*c=q。

　　由引理：a*x+b*y=c（均為整數），有整數解的充要條件是gcd(a,b)|c。證明很容易：不妨設a=p*gcd(a,b),b=q*gcd(a,b) --> a*x+b*y=(p+q)*gcd(a,b)=c，顯然要有整數解，則gcd(a,b)|c。

　　回到本題的條件：p*x-n*c=q。有解則必定滿足gcd(x,n)|q，所以必定有p*x-n*c=gcd(x,n)成立，等價於p*x%n=gcd(x,n)，則gcd(x,n)一定為一個密碼。類似的，對於不同的密碼x和y，存在（p*x+q*y）%n為密碼，由引理必定存在p*x+q*y=gcd(x,y)，與單個x是密碼同理gcd(x,y)一定是密碼。

　　而要使得密碼最多，由x是密碼則p*x%n（0<p<n）為密碼可知，當x為最小時，密碼最多有n/x個。

　　具體實現時，我們先求出a[k]=gcd(a[k],n)，再使a[i]=gcd(a[i],a[k])，然後從新的a[k]中刪去所有是a[i]因子的因子，最後輸出答案就是n除以沒被刪的最小的因子。

代碼：

 1 /*數學一本通上的例題——by 520*/
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define ll long long
 5 using namespace
 
 std;
 6 ll n,k,tot,a[250005],q[250000],p[250000],cnt=1;
 7 il ll gi(){
 8     ll a=0;char x=getchar();bool f=0;
 9     while((x<‘0‘||x>‘9‘)&&x!=‘-‘)x=getchar();
10     if(x==‘-‘)x=getchar(),f=1;
11     while(x>=‘0‘&&x<=‘9‘)a=a*10+x-48,x=getchar();
12     return f?-a:a;
13 }
14 il ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
15 int main()
16 {
17     freopen("strongbox.in","r",stdin);
18     freopen("strongbox.out","w",stdout);
19     n=gi(),k=gi();
20     for(int i=1;i<=k;i++)a[i]=gi();
21     a[k]=gcd(a[k],n);
22     for(int i=1;i<k;i++)a[i]=gcd(a[k],a[i]);
23     for(ll i=1;i*i<=a[k];i++)
24         if(a[k]%i==0){
25             q[++tot]=i;
26             if(i*i!=a[k])q[++tot]=a[k]/i;
27         }
28     sort(q+1,q+tot+1);
29     for(int i=1;i<k;i++)p[lower_bound(q+1,q+tot+1,a[i])-q]=1;
30     for(int i=1;i<=tot;i++)
31         if(p[i])
32             for(int j=1;j<i;j++)
33                 if(q[i]%q[j]==0)p[j]=1;
34     while(p[cnt])cnt++;
35     cout<<n/q[cnt];
36     return 0;
37 }

[poi2011]bzoj 2277 —— strongbox·[洛谷3518]