最大化平均值

有n個物品的重量和價值分別wi 和 vi。從中選出 k 個物品使得 單位重量 的價值最大。

限制條件：
1 <= k <= n <= 10^4
1 <= w_i <= v_i <= 10^6

輸入：
n = 3
k = 2
{W, V} = {(2,2), (5,3), (2,1)}

輸出：
0.75 （如果選0號和2號，平均價格是 (2 + 1) / (2 + 2) = 0.75）

題解：

一般先想到的肯定是：把物品按照 單位價值 進行排序，然後從大到小貪心地進行選取。但是這個方法對應輸入得到的 是 5/7=0.714。不可行。

轉換成二分搜索的問題，由之前的博客中，這種題目關鍵就是 編寫二分的條件C(x)。

• C(x) = 可以選擇使得 單位重量的價格 不小於 x

假設 n組數據，那他們 單位重量的價格是：

• sum(vi) / sum(wi)

因此就變成了：

• sum(vi) / sum(wi) >= x

轉換為：

• sum(vi - x * wi) >= 0

對 (vi - x * wi )的值進行排序貪心地進行選取。因此：

• C(x) = ((vi - x*wi) 從大到小排列中的前 k 個的和不小於0)，即說明改 x 可以達到 k 個物品的 單位重量的價值
• 然後，就是用 二分搜索，來進行得到 最大滿足這一條件的 x

#include <iostream>
#include 
 
<functional>
#include <algorithm>
using namespace std;

/*
3
2
2 2 5 3 2 1
*/
const int maxn = 100000 + 100;
int n, k;
int w[maxn], v[maxn];
double ave[maxn];

//判斷是否滿足條件 
bool C(double x)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        ave[i] = v[i] - x * w[i];
    }
    //如果要自定義排序，裏面別寫成int了.....答案會出錯... 
 

    sort(ave, ave + n, greater<double>());
    
//    for (int i = 0; i < n; i++) {
//        cout << ave[i] << " ";
//    }
//    cout << endl;
    
    //按從大到小取k個數求和 
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        sum += ave[i];
    }
    
    //觀察是否 可以取到 x為平均值 
    return sum >= 0;
}

void solve()
{
    int INF = 0;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> w[i] >> v[i];
        INF += v[i];
    }
    
    double lh = 0, rh = INF, mid;
    for (int i = 0; i < 100; i++)
    {
        mid = (lh + rh) / 2.0;
        if (C(mid)) {
            lh = mid;
        }
        else {
            rh = mid;
        }            
    }
    printf("%.2f\n", lh);
}

int main()
{
    solve();
    return 0;
}

習題：POJ 2976 Dropping tests

來源：http://poj.org/problem?id=2976

題意：題目就是說，n個題目，你可以少做k個題目, 然後 n個題目分別為你得到的分數 ai, 和題目的分數 bi , 有個公式是：

， 要求就是：均值最大為多少，需要四舍五入。輸入多組數據，n, k同時為0時，終止輸入。和上面的例題屬於一模一樣的題目, 用二分解決最大化平均值的問題。

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 10;
typedef long long LL;
int n, k;
LL a[maxn], b[maxn];
double INF;
double ave[maxn];

bool C(double x)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        ave[i] = a[i] - x * b[i];
    }
    
    //降序 
    sort(ave, ave + n, greater<double>());
    
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n - k; i++)
    {
        sum += ave[i];
    }
    
    return sum >= 0;    
}

void solve()
{
    double lh = 0, rh = INF, mid;
    for (int i = 0; i < 100; i++)
    {
        mid = (lh + rh) / 2;
        if (C(mid))
        {
            lh = mid;
        }
        else
        {
            rh = mid;    
        }
    }
    //和下面那種都可以 
    printf("%.f\n", lh * 100);
//    cout << fixed << setprecision(0) << lh * 100 << endl;
}

int main()
{
    while (cin >> n >> k && (n || k))
    {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a[i];
            INF += a[i];
        }        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> b[i];
        }    
        solve();    
    }
    return 0;
}

二分算法的應用——最大化平均值