題目大意

　　給你一個自動機，包含\(n\)個狀態，指令集為前\(m\)個小寫字母，對於每個狀態\(s\)和每個指令\(i\)，自動機均有後繼\(T(s,i)\)。請你求出一個長度不超過\(2^{20}\)的指令序列，使得無論自動機當前處在哪個狀態（包括初始狀態），按順序執行指令序列的所有指令後，自動機都處於初始狀態\(1\)。無解輸出\([impossible]\)

　　\(1\leq n\leq 100,1\leq m\leq 26\)

題解

　　首先要證明一個結論：原問題有解等價於對於任意狀態\(i\)，都存在一個指令序列\(S_i\)使得\(T(s,S_i)=1\)且\(T(1,S_i)=1\)

　　必要性顯然。如果不存在\(S_i\)，那麽狀態\(i\)和狀態\(1\)一定不可能同時轉移到狀態\(1\)。

　　對於充分性，我們考慮所有當前可能的狀態集合\(U\)。一開始\(U=\{1,2,3\ldots n\}\)。每次我們任選\(U\)中一個狀態\(t\)，執行\(S_t\)。這樣我們會得到一個集合\(U‘\)，滿足\(1\in U‘\)且\(|U‘|<|U|\)。這樣我們經過若幹步後可以得到\(U=\{1\}\)。我們把所有\(S_t\)連在一起得到一個指令序列\(S\)，易證\(S\)是滿足要求的。

　　所以我們每次任選\(U\)中的一個狀態\(t\)，求出\(S_t\)

　　對於狀態\(i\)，求\(S_i\)的時間復雜度是\(O(n^2)\)的，執行\(S_i\)是\(O(n^3)\)的，總共要執行\(O(n)\)次，所以時間復雜度是\(O(n^4)\)的。

　　每個\(S_i\)的長度是\(O(n^2)\)的，總共要執行\(O(n)\)次，所以答案的長度是\(O(n^3)\)的

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
 

#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int a[110][30];
int n,m;
char s[10000010];
int cnt;
int c[110];
int d[110];
int vis[110][110];
int st[10010];
int top;
int dfs(int x,int y)
{
    if(x==1&&y==1)
        return 1;
    vis[x][y]=1;
    int i;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        int lx=a[x][i];
        int ly=a[y][i];
        if(!vis[lx][ly])
        {
            st[++top]=i;
            if(dfs(lx,ly))
                return 1;
            top--;
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            a[i][j]++;
        }
    cnt=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
        c[i]=i;
    int now=n;
    while(now>1)
    {
        memset(vis,0,sizeof vis);
        top=0;
        if(!dfs(1,c[2]))
        {
            printf("[impossible]");
            return 0;
        }
        for(i=1;i<=top;i++)
        {
            s[++cnt]=st[i]+‘a‘-1;
            for(j=1;j<=now;j++)
                c[j]=a[c[j]][st[i]];
        }
        sort(c+1,c+now+1);
        now=unique(c+1,c+now+1)-c-1;
    }
    s[cnt+1]=‘\0‘;
    printf("%s\n",s+1);
    return 0;
}

【XSY1552】自動機 構造