題目大意

　　給你一棵\(n\)個點的樹，每個點有權值\(a_i\)，\(a\)為一個排列，求
\[ \frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \varphi(a_ia_j)dist_{i,j} \]
　　\(n\leq 200000\)

題解

　　歐拉phi函數

\[ \begin{align} ans&=\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \varphi(a_ia_j)dist_{i,j}\&=\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=(a_i,a_j)} \frac{\varphi(a_i)\varphi(a_j)d}{\varphi(d)}dist_{i,j}\&=\frac{1}{n(n-1)}\sum_{d=1}^n\frac{d}{\mu(d)}\sum_{d=(a_i,a_j)}\varphi(a_i)\varphi(a_j)dist_{i,j}\f(d)&=\sum_{d=(a_i,a_j)}\varphi(a_i)\varphi(a_j)dist_{i,j}\F(d)&=\sum_{d|a_i,d|a_j}\varphi(a_i)\varphi(a_j)dist_{i,j}\F(d)&=\sum_{d|n}f(n)\f(d)&=F(d)-\sum_{d|n,d\neq n}f(n) \end{align} \]

　　\(F(d)\)可以直接建虛樹DP求。

　　然後直接反演統計就可以得到答案。

　　總的點數是\(\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=O(n\log n)\)

　　所以總的時間復雜度是\(O(n\log^2 n)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef
 
 long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
ll p=1000000007;
struct graph
{
    int h[200010];
    int v[400010];
    int w[400010];
    int t[400010];
    int n;
    graph()
    {
        memset(h,0,sizeof h);
        n=0;
    }
    void add(int x,int y,int z)
    {
        n++;
        v[n]=y;
        w[n]=z;
        t[n]=h[x];
        h[x]=n;
    }
};
graph g,g2;
int
 
 f[200010][20];
int d[200010];
int st[200010];
int ti;
void dfs(int x,int fa,int dep)
{
    f[x][0]=fa;
    d[x]=dep;
    st[x]=++ti;
    int i;
    for(i=1;i<=19;i++)
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
    for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
        if(g.v[i]!=fa)
            dfs(g.v[i],x,dep+1);
}
int getlca(int x,int y)
{
    if(d[x]<d[y])
        swap(x,y);
    int i;
    for(i=19;i>=0;i--)
        if(d[f[x][i]]>=d[y])
            x=f[x][i];
    if(x==y)
        return x;
    for(i=19;i>=0;i--)
        if(f[x][i]!=f[y][i])
        {
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    return f[x][0];
}
ll phi[200010];
int b[200010];
int pri[100010];
int cnt;
ll inv[200010];
void init(int n)
{
    int i,j;
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=-(p/i)*inv[p%i]%p;
    phi[1]=1;
    cnt=0;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            pri[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++)
        {
            b[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
        }
    }
}
ll a[200010];
ll s[200010];
int c[200010];
int c1[200010];
int ct;
int n;
int stack[200010];
int top;
int cmp(int a,int b)
{
    return st[a]<st[b];
}
ll s1[200010];
ll s2[200010];
ll sum;
void add(int x,int y)//f[x]=y
{
    ll s3=(s1[x]+(d[x]-d[y])*s2[x])%p;
    sum=(sum+s3*s2[y]+s1[y]*s2[x])%p;
    s1[y]=(s1[y]+s3)%p;
    s2[y]=(s2[y]+s2[x])%p;
}
ll solve(int x)
{
    sum=0;
    ct=top=0;
    int i;
    for(i=x;i<=n;i+=x)
        c1[++ct]=c[i];
    sort(c1+1,c1+ct+1,cmp);
    int rt=getlca(c1[1],c1[ct]);
    if(rt!=c1[1])
    {
        stack[++top]=rt;
        s1[rt]=s2[rt]=0;
    }
    for(i=1;i<=ct;i++)
    {
         if(i>=2)
         {
            int lca=getlca(c1[i],c1[i-1]);
            while(d[stack[top]]>d[lca])
                if(d[stack[top-1]]<d[lca])
                {
                    s1[lca]=s2[lca]=0;
                    add(stack[top],lca);
                    stack[top]=lca;
                }
                else
                {
                    add(stack[top],stack[top-1]);
                    top--;
                }
         }
         stack[++top]=c1[i];
         s1[c1[i]]=0;
         s2[c1[i]]=phi[a[c1[i]]];
    }
    while(top>1)
    {
        add(stack[top],stack[top-1]);
        top--;
    }
    return sum*2%p;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    init(n);
    int i,x,y,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        c[a[i]]=i;
    }
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        g.add(x,y,0);
        g.add(y,x,0);
    }
    dfs(1,0,1);
    for(i=1;i<=n;i++)
        s[i]=solve(i);
    ll ans=0;
    for(i=n;i>=1;i--)
    {
        for(j=i+i;j<=n;j+=i)
            s[i]-=s[j];
        ans=(ans+s[i]*i%p*inv[phi[i]]%p)%p;
    }
    ans=ans*inv[n]%p*inv[n-1]%p;
    ans=(ans+p)%p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

【CF809E】Surprise me! 樹形DP 虛樹 數學