題目描述

　　平面上有\(n\)個點，你要用一些矩形覆蓋這些點，要求：

• 每個矩形的下邊界為\(y=0\)
• 每個矩形的大小不大於\(s\)

　　問你最少要用幾個矩形。

　　\(n\leq 100,1\leq y\leq s\)

題解

　　先把坐標離散化。

　　猜（zheng）一個結論：最優解中任意兩個矩形的橫坐標只可能是相離或包含，不可能是相交。證明略。

　　考慮區間DP。

　　設\(f_{l,r,h}\)為覆蓋橫坐標\(l\sim r\)，縱坐標\(>h\)的所有矩形需要的最少次數。

　　枚舉\(l,r,h\)，有兩種轉移：

• 找到一個橫坐標\(i\)，使得沒有任意一個矩形穿過\(i\)。枚舉\(i\)
  分治即可。
• 放一個橫坐標為\(l\sim r\)的矩形，把高度設為上限。

　　對於每一個\(h\)，這一層的轉移是\(O(n^3)\)的，到下一層的轉移是\(O(n^2\log n)\)的，所以總時間復雜度就是\(O(n^4)\)。

　　用記憶化搜索可以跑得飛快。

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<utility>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
int n,s;
pii a[110
 
];
int f[110][110][110];
int xx[110];
int yy[110];
int m1,m2;
int d[110];
int gao(int x)
{
    return x?s/x:0x3fffffff;
}
int gao(int l,int r,int h)
{
    int &s=f[h][l][r];
    if(~s)
        return s;
    while(l<=r&&d[l]<=h)
        l++;
    while(l<=r&&d[r]<=h)
        r--;
    if
 
(l>r)
        return s=0;
    int i;
    s=0x7fffffff;
    for(i=l;i<r;i++)
        s=min(s,gao(l,i,h)+gao(i+1,r,h));
    int hh=gao(xx[r]-xx[l]);
    if(hh<=yy[h])
        return s;
    int v=upper_bound(yy+1,yy+m2+1,hh)-yy-1;
    s=min(s,gao(l,r,v)+1);
    return s; 
}
void solve()
{
    scanf("%d%d",&n,&s);
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a[i].first,&a[i].second);
        xx[i]=a[i].first;
        yy[i]=a[i].second;
    }
    sort(xx+1,xx+n+1);
    sort(yy+1,yy+n+1);
    m1=unique(xx+1,xx+n+1)-xx-1;
    m2=unique(yy+1,yy+n+1)-yy-1;
    memset(f,-1,sizeof f);
    for(i=1;i<=m1;i++)
        d[i]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].first=lower_bound(xx+1,xx+m1+1,a[i].first)-xx;
        a[i].second=lower_bound(yy+1,yy+m2+1,a[i].second)-yy;
        d[a[i].first]=max(d[a[i].first],a[i].second);
    }
    int ans=gao(1,m1,0);
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
    #endif
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
        solve();
    return 0;
}

【XSY2693】景中人 區間DP