Description

\(k\)個座位，\(n\)個人依次過來，每人隨機從\(k\)個座位中選擇一個，並從它開始不停向後走直到遇到空座位坐下。求所有人都能坐下的概率（即沒有人走到第\(k+1\)個位置）。\(n, k\leq200\)，答案以有理數形式輸出。

Solution

我們在最後一個座位之後添加第\(k+1\)個座位，並把這些座位連成環（\(k+1\)後面是第\(1\)個）。並令所有人可以從\(k+1\)個座位中任選一個。

那麽現在每個座位坐到人的概率都相同（因為環是對稱的），為\(\frac n{k+1}\)。答案實際上就是第\(k+1\)的座位沒有人的概率，即\(\frac{k-n+1}{k+1}\)

所以答案即為
\[ \frac{(k-n+1)(k+1)^{n-1}}{k^n} \]

有理數計算的話，質因數分解+高精即可。

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N = 205;
int p[N];
int A[10000], len;
void add(int n, int
 
 m) {
  for (int i = 2; i <= n; ++i) if (!(n % i)) {
    while (!(n % i)) {
      p[i] += m;
      n /= i;
    }
  }
}
void mul(int x) {
  for (int i = 0, t = 0; i < len || t; ++i) {
    t = (A[i] = A[i] * x + t) / 10;
    A[i] %= 10;
    if (i >= len) len = i + 1;
  }
}
int main() {
  int T;
  scanf("
 
%d", &T);
  while (T--) {
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    if (n > k) { puts("0 1"); continue; }
    memset(p, 0, sizeof p);
    add(k - n + 1, 1);
    add(k + 1, n - 1);
    add(k, -n);
    memset(A, 0, sizeof A);
    A[0] = len = 1;
    for (int i = 1; i <= k + 1; ++i)
      for (int j = 0; j < p[i]; ++j)
        mul(i);
    while (len--) printf("%d", A[len]);
    putchar(‘ ‘);
    memset(A, 0, sizeof A);
    A[0] = len = 1;
    for (int i = 1; i <= k + 1; ++i)
      for (int j = p[i]; j < 0; ++j)
        mul(i);
    while (len--) printf("%d", A[len]);
    putchar(‘\n‘);
  }
}

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