2018-03-06 17:42:02

一、最短路問題

問題描述：在網絡中，求兩個不同頂點之間的所有路徑中，邊的權值之和最小的那一條路徑。

• 這條路徑就是兩點之間的最短路徑 （Shortest Path）
• 第一個頂點為源點 （Source）
• 最後一個頂點為終點 （Destination）

問題分類：

1. 單源最短路徑問題：從某固定源點出發，求其到所有其他頂點的最短路徑。
   1. （有向）無權圖
   2. （有向）有權圖
2. 多源最短路徑問題：求任意兩頂點間的最短路徑。

1）無權圖的單源最短路算法

BFS可以解決這類問題。

2）有權圖的單源最短路算法

Dijkstra算法可以解決不帶負值邊的單源最短路問題。

3）多源最短路算法

此算法由Robert W. Floyd（羅伯特·弗洛伊德）於1962年發表在“Communications of the ACM”上。同年Stephen Warshall（史蒂芬·沃舍爾）也獨立發表了這個算法。Floyd這個牛人是朵奇葩，他原本在芝加哥大學讀的文學，但是因為當時美國經濟不太景氣，找工作比較困難，無奈之下到西屋電氣公司當了一名計算機操作員，在IBM650機房值夜班，並由此開始了他的計算機生涯。

我們來想一想，根據我們以往的經驗，如果要讓任意兩點（例如從頂點a點到頂點b）之間的路程變短，只能引入第三個點（頂點k），並通過這個頂點k中轉即a->k->b，才可能縮短原來從頂點a點到頂點b的路程。那麽這個中轉的頂點k是1~n中的哪個點呢？甚至有時候不只通過一個點，而是經過兩個點或者更多點中轉會更短，即a->k1->k2b->或者a->k1->k2…->k->i…->b。比如上圖中從4號城市到3號城市（4->3）的路程e[4][3]原本是12。如果只通過1號城市中轉（4->1->3），路程將縮短為11（e[4][1]+e[1][3]=5+6=11）。其實1號城市到3號城市也可以通過2號城市中轉，使得1號到3號城市的路程縮短為5（e[1][2]+e[2][3]=2+3=5）。所以如果同時經過1號和2號兩個城市中轉的話，從4號城市到3號城市的路程會進一步縮短為10。通過這個的例子，我們發現每個頂點都有可能使得另外兩個頂點之間的路程變短。

Floyd算法就是首先只允許經過0號結點，看看是否會變短，如果變短就加之修改，然後只允許經過0，1號結點，看看是否變短，加之修改，直到中間結點到達為所有可能的結點。

二、最小生成樹 (Minimum Spanning Tree)

什麽是最小生成樹？

最小生成樹算法使用貪心的思想，每一步都選權重最小的邊。

• Prim算法 — 讓一棵小樹長大

首先隨機選擇起始點，然後不斷將當前結點往外生長，尋找最短的結點加入。

• Kruskal算法 — 將森林合並成樹

三、拓撲排序

拓撲序：如果圖中從V到W有一條有向路徑，則V一定排在W之前。滿足此條件的頂點序列稱為一個拓撲序。

獲得一個拓撲序的過程就是拓撲排序

AOV（Activity On Vertex）如果有合理的拓撲序，則必定是有向無環圖（Directed Acyclic Graph, DAG）。

舉個例子，將計算機學院的課程按照拓撲序進行輸出。

一種聰明的算法就是將入度為0的結點放到隊列。

關鍵路徑問題：

圖 Graph-圖的相關算法