題目鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709

題目大意：

　　定義一個數字上的某一個數位作為中樞，其他數位上的數乘上該數位到中樞的距離稱為該數位上的權值。

　　問在 \([x,y]\) 中滿足下述條件的數有多少個：

　　即能夠在數字上任取一個數位作為中樞，使得中樞左右所有數位的權值和相等。

知識點：　　數位DP

解題思路：

　　首先，對於每一個數（先不考慮 \(0\) ），如果它能找到滿足條件的中樞，那麽這種中樞只有一個。粗略證明：假設一個數有兩個滿足條件的不同位置的中樞，設為 \(p_1\), \(p_2\)，\(p_1<p_2\)，則 \(p_1\) 對應的左邊的權值和必定小於或等於 \(p_2\) 對應的左邊權值和，\(p_1\) 對應的右邊的權值和必定大於或等於 \(p_2\) 對應的右邊權值和，這兩者都相等當且僅當這個數為 \(0\)，但我們暫時不考慮 \(0\)，故假設不成立，原命題得證。

　　基於以上的結論，我們可以枚舉中樞的位置，各自走一次 \(DFS\) 即可得出答案。

　　另，無論中樞的位置在哪裏，\(0\) 顯然都會被計為滿足條件，故要註意去重。

AC代碼：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 ll dp[20][20][10000];   //dp[第幾位是中點][位置][sum值]
 6 int a[20];
 7 ll dfs(int pos,int zhong,int sum,bool limit){
 8     if(pos==-1)
 
 9         return sum==0?1:0;
10     if(sum<0)   return 0;
11     if(!limit&&dp[zhong][pos][sum]!=-1) return dp[zhong][pos][sum];
12     int up=limit?a[pos]:9;
13     ll ans=0;
14     for(int i=0;i<=up;i++){
15         int tsum=(pos-zhong)*i+sum;
16         ans+=dfs(pos-1,zhong,tsum,limit&&i==a[pos]);
 
17     }
18     if(!limit)  dp[zhong][pos][sum]=ans;
19     return ans;
20 }
21 ll solve(ll x){
22     if(x<0) return 0;
23     int pos=0;
24     while(x){
25         a[pos++]=x%10;
26         x/=10;
27     }
28     ll ret=0;
29     for(int i=0;i<pos;i++){
30         ret+=dfs(pos-1,i,0,true);
31         ret--;
32     }
33     return ret+1;
34 }
35 int main(){
36     memset(dp,-1,sizeof(dp));
37     int T;
38     ll x,y;
39     scanf("%d",&T);
40     while(T--){
41         scanf("%lld%lld",&x,&y);
42         printf("%lld\n",solve(y)-solve(x-1));
43     }
44     return 0;
45 }

HDU3709 Balanced Number