題目描述

樹可以用來表示物種之間的進化關系。一棵“進化樹”是一個帶邊權的樹，其葉節點表示一個物種，兩個葉節點之間的距離表示兩個物種的差異。現在，一個重要的問題是，根據物種之間的距離，重構相應的“進化樹”。

令N={1..n}，用一個N上的矩陣M來定義樹T。其中，矩陣M滿足：對於任意的i，j，k，有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。樹T滿足：

1．葉節點屬於集合N；

2．邊權均為非負整數；

3．dT(i,j)=M[i,j]，其中dT(i,j)表示樹上i到j的最短路徑長度。

如下圖，矩陣M描述了一棵樹。

樹的重量是指樹上所有邊權之和。對於任意給出的合法矩陣M，它所能表示樹的重量是惟一確定的，不可能找到兩棵不同重量的樹，它們都符合矩陣M。你的任務就是，根據給出的矩陣M，計算M所表示樹的重量。下圖是上面給出的矩陣M所能表示的一棵樹，這棵樹的總重量為15。

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入數據包含若幹組數據。每組數據的第一行是一個整數n(2<n<30)。其後n-l行，給出的是矩陣M的一個上三角(不包含對角線)，矩陣中所有元素是不超過100的非負整數。輸入數據保證合法。

輸入數據以n=0結尾。

輸出格式：

對於每組輸入，輸出一行，一個整數，表示樹的重量。

輸入輸出樣例

5
5 9 12 8
8 11 7
5 1
4
4
15 36 60
31 55
36
0

15
71

題解

• 盜用一張圖先

• 這張圖的樹的重量為(1,2)+藍色部分
• 那麽藍色部分怎麽求？
• 發現，(1,3)和(2,3)都是經過藍色部分的
• 把它們相加發現：(1,2)+2*藍色部分
• 而且已知(1,2)，藍色部分就用容易求
• 用字母表示就是:((1,i)+(j,i)-(1,j))/2
• 解決這個問題後，考慮怎麽構造樹
• 這棵樹要滿足：
• ①符合矩陣 ②每條邊都要加一次，而且最多一次
• 假如我們前i-1個都構造完了，那麽怎麽構造i個
• 題目要求重量要盡量小，顯然就枚舉加入哪條邊中，取最小值
• Ojbk！！

代碼

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace
 
 std;
 4 const int inf=(1<<30);
 5 int d[60][60],n;
 6 int main()
 7 {
 8     while(scanf("%d",&n)==1&&n)
 9     {
10         for(int i=1;i<=n;i++)
11             for(int j=i+1;j<=n;j++)
12                  scanf("%d",&d[i][j]),d[j][i]=d[i][j];
13         int ans=d[1][2];   
14         for(int i=3;i<=n;i++)
15         {
16             int t=inf; 
17             for(int j=2;j<i;j++) t=min(t,(d[1][i]+d[j][i]-d[1][j])/2);
18             ans+=t;
19         }
20         printf("%d\n",ans);
21     }
22     return 0;
23 }

[枚舉]Luogu P1268 樹的重量