題目大意

在平面上找 n 個點, 要求這 n 個點離原點的距離分別為 $r_1,r_2, \cdots r_rn$. 最大化這 n 個點構成的凸包面積, 凸包上的點的順序任意。
註意點不一定全都要在凸包上。

$n \leq 8,r_i \leq 1000$

題解

正解是拉格朗日乘數法。
然而作為一只蒟蒻，當然是不會這種巧妙的操作的。

那就亂搞吧!
考慮使用模擬退火算法。

初始給每個節點隨機一個相對於原點的角度，並計算它們構成的凸包面積。
設定初始溫度為$\pi$（角度為弧度制），並進行退火。
每次從所有點中隨機選擇一個點，對其角度加上或減去溫度乘上一個在$(0,1)$範圍內隨機的實數，計算此時的答案。

隨機$10$次左右即可穩定得到最優解~
說這是偽模擬退火的原因是，模擬退火事實上還會根據溫度一定概率接受一次錯誤的修改，而實測這樣的效果並不是特別優。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef double db;
typedef pair<db,db> pr;
const int N=19;
const db eps=1e-8;
const db pi=acos(-1);
const db mint=1e-7;
#define x first
#define y second
 


int n,stk[N],rr[N];
db r[N];
db ang[N],ans=0.0;
pr p[N];

inline bool cmp(pr a,pr b)
{
    if(abs(a.x-b.x)<eps)
        return a.y<b.y;
    return a.x<b.x;
}

pr operator - (pr a,pr b)
{
    return pr(a.x-b.x,a.y-b.y);
}

inline bool cmp2(pr a,pr b)
{
    return atan2(a.y-p[1].y,a.x-p[1].x)<atan2(b.y-p[1
 
].y,b.x-p[1].x);
}

inline db randf()
{
    return (db)rand()/(db)RAND_MAX;
}

inline db cross(pr a,pr b)
{
    return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

inline db hull()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        p[i]=pr(cos(ang[i])*r[i],sin(ang[i])*r[i]);
    sort(p+1,p+n+1,cmp);
    sort(p+2,p+n+1,cmp2);

    int top;
    stk[top=1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        while(top>=2 && cross(p[i]-p[stk[top-1]],p[stk[top]]-p[stk[top-1]])>eps)
            top--;
        stk[++top]=i;
    }


    db ret=0;
    for(int i=1;i<top;i++)
        ret+=cross(p[stk[i]],p[stk[i+1]]);
    ret+=cross(p[stk[top]],p[stk[1]]);
    return fabs(ret/2.0);
}

inline void work()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ang[i]=randf()*pi*2.0;

    db t=pi,cans=hull();
    while(t>mint)
    {
        //for(int i=1;i<=1;i++)
        {
            int choose=rand()%n+1;
            db inc=t*(randf()-0.5);
            ang[choose]+=inc;
            db tans=hull();
            if(tans>cans)cans=tans;
            else ang[choose]-=inc;
        }
        t*=0.994;
    }

    ans=max(ans,cans);
}

inline int spj()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ang[i]=((db)(i-1)/(db)n)*pi*2.0;
    printf("%.6f\n",hull());
    return 0;
}

int main()
{
    freopen("yja.in","r",stdin);
    freopen("yja.out","w",stdout);

    srand(time(0));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&rr[i]);
        r[i]=(db)rr[i];
    }

    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(r[i]!=r[i-1])
            goto hell;
    return spj();

    hell:;
    int T=200;
    while(T--)
        work();
    printf("%.8f\n",ans);
    return 0;
}

[2018.3.26集訓]yja-偽模擬退火