題目描述

T國有N個城市，用若幹雙向道路連接。一對城市之間至多存在一條道路。 在一次洪水之後，一些道路受損無法通行。雖然已經有人開始調查道路的損毀情況，但直到現在幾乎沒有消息傳回。 辛運的是，此前T國政府調查過每條道路的強度，現在他們希望只利用這些信息估計災情。具體地，給定每條道路在洪水後仍能通行的概率，請計算仍能通行的道路恰有N-1條，且能聯通所有城市的概率。

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入的第一行包含整數N。 接下來N行，每行N個實數，第i+l行，列的數G[i][j]表示城市i與j之間仍有道路聯通的概率。 輸入保證G[i][j]=G[j][i]，且G[i][j]=0；G[i][j]至多包含兩位小數。

輸出格式：

輸出一個任意位數的實數表示答案。 你的答案與標準答案相對誤差不超過10^(-4)即視為正確。

輸入輸出樣例

3
0 0.5 0.5
0.5 0 0.5
0.5 0.5 0

0.375

說明

1 < N < =50

數據保證答案非零時，答案不小於10^-4

我們來考慮一下一個 度數矩陣-鄰接矩陣 的行列式的意義，就是所有該鄰接矩陣代表的圖的所有生成樹的邊權之積的和。

而我們要求的是所有生成樹中樹邊概率之積再乘上非樹邊(1-其概率)之積 的和。於是我們便可以設base=π(1-a[i][j]) ,然後令a[i][j] = a[i][j] / (1-a[i][j])，然後我們用矩陣樹定理求一下a的行列式再乘上base就是答案了。

但是當a[i][j]==1的時候，我們要近似一下a[i][j]。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define D double
const int maxn=106;
using namespace std;
const D eps=1e-9;
D a[maxn][maxn],ans=1,base=1;
bool flag=0;
int n;

inline int zt(D x){
	if(fabs(x)<eps) return 0;
	return x>0?1:-1;
}

inline void solve(){
	for(int i=1;i<n;i++)
	    for(int j=1;j<n;j++) if(i!=j) a[i][j]=-a[i][j];
	
	for(int i=1;i<n;i++){
		int pos=i;
		for(int j=i+1;j<n;j++) if(a[j][i]>a[pos][i]) pos=j;
		if(pos!=i){
			ans*=-1;
		    for(int j=i;j<n;j++) swap(a[pos][j],a[i][j]);
	    }
		if(!zt(a[i][i])) break;
		
		for(int j=i+1;j<n;j++) if(zt(a[j][i])){
			D tmp=a[j][i]/a[i][i];
			for(int k=i;k<n;k++) a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
		}
		
		ans*=a[i][i];
	}
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=1;j<=n;j++){
	    	scanf("%lf",&a[i][j]);
	    	if(a[i][j]==1) a[i][j]-=eps;
	    	if(i<j) base=base*(1-a[i][j]);
	    	a[i][j]=a[i][j]/(1-a[i][j]);
		}
		
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=i+1;j<=n;j++) a[i][i]+=a[i][j],a[j][j]+=a[i][j];
	solve();
	printf("%.11lf\n",ans*base);
	return 0;
}

[SDOI2014] 重建