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變元矩陣樹定理：求所有生成樹的總邊積的和，行列式中 $A[i][i]$ 為總邊權和，$A[i][j]$ 為 $i,j$ 之間邊權相反數

這題顯然考慮這個東西

但是不能直接把邊權變成概率，還要考慮非樹邊出現的概率

就是說原本矩陣樹可以求 $\sum _{Tree}\prod _{e\in Tree}P[e]$

但是此題要求的是 $\sum _{Tree}\prod _{e\in Tree}P[e]\prod _{e\notin Tree}(1-P[e])$

考慮化一下上面那個式子：

$\sum _{Tree}\prod _{e\in Tree}P[e]\prod _{e\notin Tree}(1-P[e])$

$=\sum _{Tree}\prod _{e\in Tree}P[e]\frac{\prod _{e}(1-P[e])}{\prod _{e\in Tree}(1-P[e])}$

$=\prod _{e}(1-P[e])\sum _{Tree}\prod _{e\in Tree}\frac{P[e]}{(1-P[e])}$

然後就可以矩陣樹了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using
 
 namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘) { if(ch==‘-‘) f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
 
const int N=107;
const db eps=1e-7;
int n;
db A[N][N],ans=1;
db Gauss()
{
    db res=1.0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int tmp=i;
        for(int j=i+1;j<n;j++)
            if(fabs(A[tmp][i])<fabs(A[j][i])) tmp=j;
        if(tmp!=i) swap(A[tmp],A[i]),res=-res;
        for(int j=i+1;j<n;j++)
        {
            db t=A[j][i]/A[i][i];
            for(int k=i;k<n;k++) A[j][k]-=t*A[i][k];
        }
        res*=A[i][i];
    }
    return fabs(res);
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lf",&A[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            db t= (1.0-A[i][j])<eps ? eps : 1.0-A[i][j];//防止分母為0
            A[i][j]/=t; if(i<j) ans*=t;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j) A[i][i]+=A[i][j],A[i][j]*=-1;
    printf("%.10lf",ans*Gauss());
    return 0;
}

P3317 [SDOI2014]重建