浮點數的存儲與表達
計算機中的浮點數只是無限接近真實值的近似值。為什麽呢？首先來看一下浮點數在計算機中是如何存儲的。
浮點數的存儲
計算機中浮點數的存儲遵循IEEE754浮點數標準。單精度用32位存儲，而雙精度用64位存儲。具體的存法如下（以單精度為例）：
單精度(32位) = 1位符號位+8位指數位+23位尾數位，見下圖。
其中，符號位用來表示數值的符號。關於指數位和尾數位，需要先了解計算機表示浮點數的原理。計算機中，浮點數是二進制科學計數法來表示的。比如10.5(十進制)=1010.1(二進制)=1.0101 * 2^3.那這裏1.0101就叫尾數，3就叫指數。這兩個值會分別存入浮點數的指數和尾數區域。要註意的是：
1. 因為尾數第一位肯定為1，所以在存儲的時候省略，在讀取數據的時候在加上。這樣會將尾數部分實際的存儲能力擴大到24位。
2. 指數也有可能為負數，8位只能表示-127到128。在存儲指數的時候實際是存儲的原數據+127的值，讀取指數數據的時候再減去127。例如：指數3，實際存儲的值是3+127 = 130
指數和尾數的存儲能力直接決定了其能表示數字的範圍和精度：
1. 數字範圍：(-1)*2^(符號位) * 尾數最大數(1.1111...) * 指數最大數(2^128) = (-3.4 * 10^38, 3.4 * 10^38)
2. 精度：尾數最多能存24位，最大值為2^24 = 16777216 這個數字能完整表示 10^7以內的整型數字，因此精度為7位
C# float類型參考
浮點數的精度誤差
小數的二進制表達：前面其實提到過，10.5的二進制是1010.1，整數部分的算法是除二取余(余數為當前位的二進制值)。小數部分的算法是乘二取整數部分作為當前位的二進制值,小數部分繼續進行乘二取整。所以10.5的二進制表達為1010.1。
但是現實情況是大部分小數乘2取整的最後是一個無限循環。比如：0.99,可以一直執行乘二取整，最後也不會得到一個乘二後值為1的數字。所以這種值會變為二進制時是無法存儲其精確值的，因為尾數的存儲位數是有限制的。(這裏的單精度為23位) 因此會有精度丟失，當從內存中取值時得到的數值其實是無限接近於真實值的近似值。
比如執行如下代碼：
float fValue = 0.99F;
Console.WriteLine("float:" + fValue.ToString("G8"));
// output: 0.99000001
原因是什麽呢？運用上面的存儲原理可以做如下解釋：0.99轉換為二進制後的值為(只列出前25位)：1111110101110000101000111(25bit)，但是單精度只能存24位，那實際存儲的值為:111111010111000010100011(24bit)。這裏就丟掉了一位數據。當還原為10進制數時就會不夠準確。其實這裏我嘗試還原了一下，但是得到的結果和預期不太一樣（結果為:0.9899999499320983886716），可能計算過程中本身也有誤差導致。還原代碼如下：
static void BinToDecimal(string binString)
{
decimal result = 0;
int index = -1;
foreach (var c in binString)
{
if (c == ‘1‘)
{
result += (decimal)Math.Pow(2, index);
}
index -= 1;
}
Console.WriteLine(result);
}
上述代碼如果我們這樣寫：
float fValue = 0.99F; Console.WriteLine("float:" + fValue.ToString()); // output:0.99
結果就是對的，原因是fValue.ToString() 默認是顯示7位精度。這樣得到的結果就是0.99。
各種數據類型的ToString()方法默認顯示精度見MSDN
Decimal類型
在財務計算等高精度要求的場景，浮點數的誤差可能會造成嚴重後果。所以decimal類型適用於這種高精度的場景。decimal的存儲方式是：
符號位(1bit) + 數值位(96bit) + 放大因子(31bit) = 128bit
其中數值位用來存儲要表示的完整數字去掉小數點後的整數表示，放大因子決定小數點的位置。因此所能存儲的數字範圍為（-2^96,2^96)對應十進制:(-79228162514264337593543950336,79228162514264337593543950336).所以decimal一共是能表示精度28位的數字。不存在十進制與二進制的轉換，所以不會有精度誤差。所以對數值精度要求高時推薦使用decimal數據類型。
浮點數的存儲與表達