遞歸的入門介紹
這是一只海龜，但小程要介紹的是遞歸。
遞歸是一種很重要的結構與設計思想。之所以重要，是因為讀者經常會遇到遞歸結構，或遞歸算法。而為了解決某些問題，遞歸的設計思想有時很有效果。
本文介紹遞歸的設計與實現。
小程先介紹遞歸的表現，再介紹怎麽理解遞歸、實現遞歸，最後再舉一些使用遞歸算法的例子。
（一）遞歸的表現
有遞，有歸，才為遞歸。
日常生活中，有很多遞歸或不完整遞歸的表現。比如下面這些：
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和尚講故事
從前有座山，山裏有座廟，廟裏有個老和尚，老和尚給小和尚講故事，講的是從前有座山。。。。
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沙灘是怎麽形成的
A：沙堆是怎麽形成的？
B：沙堆是一個沙堆加上一粒沙。
A：那這一個沙堆是怎麽形成的？B：這一個沙堆是一個沙堆加上一粒沙。
A：... -
嚇得我
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遞歸函數
f(x) = g(f(x-1))
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巧妙的衣服
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謠言成真，那還算造謠嗎？
上海一男子因造謠稱自己因造謠而被拘留15日而被拘留15日。
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洋蔥的構成
一個洋蔥就是帶著一層洋蔥皮的洋蔥。
- 轉發通知
這些例子可以看到遞歸的影子，可以感受到遞歸的一個特點就是“嵌套”，一層套一層，層層新。
（二）理解遞歸
遞歸的表現是調用自己。
之所以能調用自己，是因為子問題也能用原問題的解決辦法。
遞歸的設計，就是把問題分解成更小的問題，而且更小的問題也能用原問題的解決辦法。在問題規模足夠小的時候，把它解決掉，再層層返回，層層組合。
設計遞歸算法，需要能從大到小、從全局到局部地去想問題。
有時，先假設這個算法已經能解決此類問題，再讓同構的問題大膽調用這個算法。
（三）實現遞歸
實現遞歸時，有幾個要點可以考慮。
一是如何調用到自己，也就是如何讓第二層調用到第一層。
二是在什麽時候結束遞歸。
三是每一層遞歸返回時需要處理什麽。
小程覺得，讀者可以在實戰中去參透這幾個要點，或者總結出自己的要點（或技巧）。下面就舉一些例子，並用遞歸的算法來實現。
（四）示例
這裏，小程不考慮性能的問題，只展示怎麽設計遞歸算法。
問題1：輸入數字n，打印出1到n的所有數字。
主體：要打印1到n，那先打印1到n-1，再打印一個n就可以了。這個就是主體，只考慮n跟n-1。
結束：在n為1時打印並結束遞歸。
代碼示例：
void pr(int n) {
if (n == 1) {
printf("1\n");
return;
}
pr(n-1);
printf("%d\n", n);
}效果：
問題2：輸出“我當然知道 我知道 我知道 我知道 ...我是個sb 這件事 這件事...這件事”，輸入n來控制次數。
主體：把“我當然知道”放在遞歸函數外，因為它不符合同構的原則。先輸出“我知道”，再遞歸到下一層即可。
結束：在遞減到0時，結束遞歸。
收尾：在遞歸返回後，輸出“這件事”。
代碼示例：
#include <stdio.h>
void pr(int n) {
if (n == 0) {
printf("[我是sb]");
return;
}
printf("我知道[");
pr(n-1);
printf("這件事]");
}
int main(int argc, char *argv[])
{
printf("我當然知道{");
pr(10);
printf("}\n");
return 0;
}效果：
問題3：求二叉樹的高度（最長路徑）。
主體：左子樹與右子樹的高度的最大值，加1就是當前樹的高度。
結束：沒有子樹了。
代碼示例：
int treeHeight(struct TreeNode* root) {
if (!root) return 0;
int left = treeHeight(root->left);
int right = treeHeight(root->right);
return MAX(left, right) + 1;
}問題4：求數組中的最大值與最小值。
演示代碼：
#include <iostream>
using namespace std;
template<typename T>
void max_min( T a[], int low, int high, T & max, T & min)
{
if ( low == high ) // 只有一個元素不再劃分
{
max = min = a[low];
return;
}
else if ( low == high -1 ) // 只有兩上元素不再劃分
{
if ( a[low] < a[high] )
{
max = a[high];
min = a[low];
}
else
{
max = a[low];
min = a[high];
}
return;
}
int mid = (low + high) / 2;
T max_another;
T min_another;
max_min( a, low, mid, max, min );
max_min( a, mid+1, high, max_another, min_another );
if ( max < max_another )
max = max_another;
if ( min > min_another )
min = min_another;
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
double a[5] = {23.23, 23.45, .3, -89.3, -2.1};
double max, min;
max_min<double>( a, 0, 4, max, min );
cout << "max: " << max << " min: " << min << endl;
return 1;
}
最後，小程再提一下遞歸的深度。
每次遞歸調用都意味著部分數值壓入棧中（比如系統維護的下壓棧），這是跟叠代的區別。在叠代中每次循環結束時所有局部變量都獲得釋放，而遞歸卻會不斷累計，所以使用遞歸算法必須考慮它的深度，考慮是否會造成棧溢出，與及對效率造成的影響。
另外，每一次遞歸調用，問題的規模都應該有所減少，並最終達到終止條件的要求，從而結束遞歸調用。
至此，遞歸的入門介紹完畢了。
總結一下，本文介紹了遞歸的表現、遞歸的理解與設計，最後舉了幾個例子並用遞歸的思路來實現。遞歸是一個重要的思考問題的思路，希望本文能幫到讀者理解這種思路。
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