AC自動機 + 矩陣優化 + 期望 --- [BJOI2011]禁忌
bzoj 2553 [BJOI2011]禁忌
題目描述：
Magic Land上的人們總是提起那個傳說：他們的祖先John在那個東方島嶼幫助Koishi與其姐姐Satori最終戰平。而後，Koishi恢復了讀心的能力……
如今，在John已經成為傳說的時代，再次造訪那座島嶼的人們卻發現Koishi遇到了新麻煩。
這次她遇到了Flandre Scarlet——她擁有可以使用禁忌魔法而不會受到傷害的能力。
為了說明什麽是禁忌魔法及其傷害，引入以下概念：
1．字母集A上的每個非空字符串對應了一個魔法。
其中A是包含了前alphabet個小寫字母的集合。
2．有一個集合T，包含了N個字母集A
T中的每一串稱為一個禁忌串（Taboo string）
3．一個魔法，或等價地，其對應的串s因為包含禁忌而對使用者造成的傷害按以下方式確定：
把s分割成若幹段，考慮其中是禁忌串的段的數目，不同的分割可能會有不同的數目，其最大值就是這個傷害。
由於擁有了讀心的能力，Koishi總是隨機地使用Flandre Scarlet的魔法，可以確定的是，她的魔法正好對應字母集A上所有長度為len的串。
但是，Flandre Scarlet所使用的一些魔法是帶有禁忌的，由於其自身特性，她可以使用禁忌魔法而不受到傷害，而Koishi就不同了。
可憐的Koishi每一次使用對方的魔法都面臨著受到禁忌傷害的威脅。
你現在需要計算的是如果Koishi使用對方的每一個魔法的概率是均等的，那麽每一次隨機使用魔法所受到的禁忌傷害的期望值是多少。
輸入格式：
第一行包含三個正整數N、len、alphabet。
接下來N行，每行包含一個串Ti，表示禁忌串。
輸出格式：
一個非負實數，表示所受到禁忌傷害的期望值。
數據範圍：
100%的數據中N ≤ 5，len ≤109，1 ≤ alphabet ≤ 26。
在所有數據中，有不少於40%的數據中：N = 1。
數據保證每個串Ti的長度不超過15，並且不是空串。
數據保證每個Ti均僅含有前alphabet個小寫字母。
數據保證集合T中沒有相同的元素，即對任意不同的i
評分方法：
對於每一組數據，如果沒有得到正確的輸出（TLE、MLE、RTE、輸出格式錯誤等）得0分。
否則：設你的輸出是YourAns，標準輸出是StdAns：
記MaxEPS = max(1.0 , StdAns)×10-6
如果|YourAns – StdAns| ≤ MaxEPS則得10分，否則得0分。
即：你的答案需要保證相對誤差或絕對誤差不超過10-6。
(不開 long double 不讓過)
AC自動機最後一題。
（2011年的題比2017年的題難。。。）
先考慮一個字符串構成的權值。
一個字符串構成的權值？？
動態規劃？？不好統計。
貪心？？仿佛是。
怎麽貪？
建成AC自動機，只要匹配到就返回根繼續匹配。
為什麽沒有更優？
當我們優先選擇在最前面，最短的那個可以匹配上的禁忌串時，後面的禁忌串是不可能出現的。
或者說，如果匹配串中的子串\([l,r]\)同時被多個串覆蓋，那麽，它要麽被最前面的串匹配掉，要麽被更前面的串匹配掉。
所以自然地最優。
知道了權值怎麽來的，自然還要知道怎麽統計。
設狀態\(dp(i,j)\)表示長度為i, 狀態為j的期望權值。
那麽考慮轉移造成的貢獻，如果是禁忌串的結尾，那麽就可以獲得 \(1/alphabet\)的期望。
否則就轉移吧。
註意到\(L\)非常大，需要矩陣優化。
轉移矩陣怎麽構造？
\(sum\)(老狀態期望 * P（老狀態 ---> 新狀態）)= 新狀態期望
因此，不難想到設\(a(i,j)\)表示由\(i\)狀態轉移到\(j\)狀態的概率來轉移。
\(a(i,j)\)是可以預處理的。
完了嗎？
並沒有。
我們並沒有辦法得出最終的答案。
\(a(root,...)\)已經被我們用來算概率了，它失去了統計期望的本事。
因此，我們需要一個專門來統計答案的點：\(daan\)
用\(daan\)來統計期望。
現在，每個點匹配到了禁忌串要返回根，先走過它來統計答案。
現在\(a(i,daan)\)表示從\(i\)走x步到一個禁忌串的期望
因此，\(a(root,daan)\)就是每次的期望（根走\(x\)步走到禁忌串的期望）
為了方便統計答案，需要設\(a(daan,daan)=1\)。
為什麽？
因為\(a(i,daan)=E(now)+a(i,daan)*a(daan,daan)\)
（\(E(now)\)其實也是用\(daan\)來統計期望，而\(a(daan,daan)=1\)保證了可以維護前面的期望（期望的線性性質））
那麽我們既能讓根節點正常地參與概率轉移矩陣的運算，又能統計答案。
\(daan\)相當於一個矩陣中的計數器
何樂而不為？
AC自動機 + 矩陣優化 + 期望 --- [BJOI2011]禁忌