自動機是一種用於解決多模式串匹配問題的工具。

模板題：給定個模式串和個母串（由小寫字母組成），將母串中包含模式串的部分變為號。

判斷一個串是不是另一個串的子串，我們首先會想到演算法，但演算法需要逐個處理每一個模式串，太大時顯然會超時。這時，自動機便派上了用場，它的核心也是熟悉的陣列，我們可以把它看做樹上的。首先，我們把所有模式串加入一棵樹中（注意，我們要把樹的根結點設為，原因下面會說），接著，我們通過求出樹上每一個結點的值（的含義和中沒有實質的差別），程式碼如下。

q[++tail]=1;
for(int i=1;i<=26;i++) son[0][i]=1;
while(tail>head)
{
	tmp=q[++head];
	for(int i=1;i<=26;i++)
		if(son[tmp][i])
		{
			q[++tail]=son[tmp][i],now=next[tmp];
			while(!son[now][i]) now=next[now];
			next[son[tmp][i]]=son[now][i];
		}
}
 

以上程式碼的前兩行看起來有些奇怪，第一行把樹的根結點加入佇列，第二行又設定了一個號結點，並把它的所有子結點都設為。其實，這樣做是為了避免匹配中的一些特殊情況：假設遇到一個樹上無法找到的字元，對於任何一個，都滿足，當時，，程式就會無限迴圈。為了避免這樣的問題，我們把樹的根結點設為，當時，無論取何值，都滿足，從而退出迴圈。建出陣列後，我們開始匹配母串，即讓母串在這棵樹上順著陣列跑，記一個表示當前到達的結點，但還有一個細節要注意：統計答案時，我們不應只統計所在結點的答案，還應統計每一個所在結點順著陣列能到達的結點（只要對於每一個，再開一個，順著陣列跑一跑就行了），否則會出現如下情況：

hack資料：

輸入：

輸出：（漏掉了）

為什麼會出現這樣的情況呢？有些模式串可能是其他模式串的子串，所以會被遺漏...程式碼如下。

gets(s+1),m=strlen(s+1),tmp=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
	ch=s[i]-96;
	while(!son[tmp][ch]) tmp=next[tmp];
	tmp=son[tmp][ch],now=tmp;
	while(now)
	{
		if(vis[now])
			for(r int j=1;j<=len[now];j++) s[i-j+1]='*';
    //len[now]表示以now結點結尾的模式串的長度,匹配到一個模式串,就要把它在母串中的部分全部變成"*"號
		now=next[now];
	}
}
 

例題二、BZOJ3940

我做這題時也按照上面記的方法，結果超時了好幾發，後來仔細看看題目，已經保證了一個模式串不可能為其他模式串的子串，因此根本不需要這個變數，只需要直接判斷即可。這道題和上一題有一個區別：刪掉一個模式串後，兩邊剩餘的母串可能會拼出新的模式串，那應該如何操作呢？我一開始想到開一個陣列表示母串中每一個字元的下一個字元，核心程式碼如下。

if(vis[tmp]) to[i-dep[tmp]]=i+1,i=1;

結果又又...的原因有二。一：每次刪除一個模式串，就從頭再開始匹配，但並沒有變為。二：如果刪除一個模式串後，兩邊的母串會拼成一個新的模式串，陣列指向的位置就會出錯，因為沒有相應變化。的原因也顯而易見：每次刪除一個模式串，就從頭再開始匹配，造成了極大的時間浪費，其實我們只要從被刪模式串的前一位繼續匹配即可，但是注意，不能直接把變為，而要開一個陣列記錄匹配到母串的每一位時所在的位置。解決了的問題，如何解決的問題呢？其實只要開一個棧就可以了...棧中的元素不能是字元，而是，否則繼續...匹配程式碼如下。

tmp=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
	ans[++top]=i,ch=s[i]-96;
	while(!son[tmp][ch]) tmp=next[tmp];
	loc[i]=tmp=son[tmp][ch];
	if(dep[tmp]) top-=dep[tmp],tmp=loc[ans[top]];
}

自動機的重要優化：構建圖。

自動機的複雜度是什麼？這是個值得思考的問題，迴圈中的看起來十分礙事，事實上，它也的確能被某些特殊資料卡到，有沒有什麼辦法去掉中間的迴圈呢？構建圖即可。什麼是圖？程式碼如下。

q[++tail]=1;
for(int i=1;i<=26;i++) son[0][i]=1;
while(tail>head)
{
	tmp=q[++head];
	for(r int i=1;i<=26;i++)
		if(!son[tmp][i]) son[tmp][i]=son[next[tmp]][i];
		else
		{
			q[++tail]=son[tmp][i];
			next[son[tmp][i]]=son[next[tmp]][i];
		} 
}

構建圖的程式碼和構建自動機有何區別？我們首先會發現程式碼中多了對不存在子的結點情況的判斷，為什麼這樣是對的？如果匹配時，母串的字元不是當前結點的子結點，就需要通過陣列往上跳，跳到一個有這個字元作為子結點的結點。我們發現，往上跳的操作是大量重複的，很多不同的結點跳過同樣一段路徑，到達同一個終點，卻要被重複計算，為什麼我們不能利用記憶化的思想，把它的終點記下來呢？於是，我們直接令，就愉快地解決了這個問題。這種被補成完全叉樹（為字符集大小）的樹，就是之前說的圖。因為每一個結點都有子結點，所以迴圈就根本不會開始。因此，在建好圖之後，陣列就失去了作用，我們直接讓母串在圖上一直走向子結點即可，這樣就可以刪掉迴圈了。