luogu3941 入陣曲
阿新 • • 發佈:2018-05-05
mem AD 前綴 col \n long long con include brush
題目大意
給出一個$m$排$n$列的矩陣,求有多少個子矩陣滿足子矩陣內的數字和為$k$的倍數。$m,n<=400, k<=10^6$。
思路
先考慮簡單的問題。
把矩陣換為線段,子矩陣換為子線段。對於原序列$a$,很容易我們想到用序列$s$來維護區間的前綴和。若區間$[l,r]$內數字和為$k$的倍數,則$s_{r}-s_{l-1}$能整除以$K$。
以同余的觀念處理整除問題。
$(s_{r}-s_{l-1})\mod k=0$。由上式我們可以推出$s_{r}\equiv s_{l-1} (\mod K)$。所以以$r$為結尾的滿足條件的區間數$f(r)|\{i|i<r,s_{i}\equiv s_{r}(\mod K)\}|$。
反演的思想
我們可以考慮對所有的余數$r$設置一個數組$b$表示到當前存在的$s_{i}\mod K=r$的個數,從左到右枚舉下標$i$,則$f(i)=b(s_{i}\mod K)$,然後$b(s_{i}\mod K)++$。最終的結果就是$\sum f(i)$。註意:若$s_{i}\mod K=0$,則區間$[i,i]$也是一個解。故$b(0)=1$。
擴展到二維
枚舉上面的一排和下面的一排,把夾在兩排中間的列中數字和作為$a$即可。
註意
- 清空數組$b$(在代碼中指ModCnt)數據量很大,memset很慢。我們應當改了ModCnt的哪些值,就還原哪些值,不要全部處理。
- 以後盡量不要用MAX_N。數組大小設錯的後果是很嚴重的!
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define LOOP(i, n) for(int i=1; i<=n; i++) #define LoopFrom(i, l, r) for(int i=l; i<=r; i++) #define ll long long const int MAX_ROW = 410, MAX_COL = 410, MAX_MOD = 1000010; ll Prefix[MAX_ROW][MAX_COL]; ll ModCnt[MAX_MOD]; ll Mods[MAX_COL]; ll TotRow, TotCol, K; void Read() { scanf("%lld%lld%lld", &TotRow, &TotCol, &K); LOOP(row, TotRow) { LOOP(col, TotCol) { scanf("%lld", &Prefix[row][col]); Prefix[row][col] += Prefix[row - 1][col] + Prefix[row][col - 1] - Prefix[row - 1][col - 1]; } } } ll Proceed() { ll ans = 0; LOOP(rowUp, TotRow) { LoopFrom(rowDown, rowUp, TotRow) { //memset(ModCnt, 0, sizeof(ModCnt)); ModCnt[0] = 1; LOOP(col, TotCol) { ll colPrefix = Prefix[rowDown][col] - Prefix[rowUp - 1][col]; Mods[col] = colPrefix % K; ans += ModCnt[Mods[col]]++; } LOOP(col, TotCol) ModCnt[Mods[col]] = 0; } } return ans; } int main() { ll ans = 0; Read(); printf("%lld\n", Proceed()); return 0; }
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