MT【181】橫穿四象限
阿新 • • 發佈：2018-05-10
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當$a<0$時,$\lim\limits_{x\longrightarrow a^-}f(x)=-\infty;\lim\limits_{x\longrightarrow a^+}f(x)=+\infty$此時圖像過第二第四象限,滿足題意；
當$a\ge0$時,由於$f(x)$是由兩個基本初等函數通過加減乘除及其復合運算構成的,其在定義區間上連續,故只需考慮
設函數$f(x)=\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{\lambda}{x-2}$,其中$a,\lambda\in R$
記$A_1=\{(x,y)|x>0,y>0\},A_2=\{(x,y)|x<0,y>0\},A_3=\{(x,y)|x>0,y<0\},$
$A_4=\{(x,y)|x<0,y<0\},M=\{(x,y)|y=f(x)\}$,
若對任意的$\lambda\in(1,3),M\cap A_i\ne \varnothing(i=1,2,3,4) $,求$a$的範圍.
分析:
考慮到$\lim\limits_{x\longrightarrow 2^+}f(x)=-\infty;\lim\limits_{x\longrightarrow 2^-}f(x)=+\infty$
當$a<0$時,$\lim\limits_{x\longrightarrow a^-}f(x)=-\infty;\lim\limits_{x\longrightarrow a^+}f(x)=+\infty$此時圖像過第二第四象限,滿足題意；
當$a\ge0$時,由於$f(x)$是由兩個基本初等函數通過加減乘除及其復合運算構成的,其在定義區間上連續,故只需考慮
$f(x)=\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{\lambda}{x-2}=0$對任意$\lambda\in(1,3)$在$x\in(-\infty,0)$有解.
即$x=\dfrac{\lambda a-2}{\lambda-1}$對任意$\lambda\in(1,3)$在$x\in(-\infty,0)$有解.得$a\le \dfrac{2}{3}$特別的$\lambda=2,a=0.5$時如圖：
MT【181】橫穿四象限