深感人類智慧的偉大啊，，，

第一次看這題簡直毫無頭緒，

其實狀態設出來了，往下推就順理成章了。

f[i][j][k]表示到第i位，選了j段，第i位有沒有選（k）的最大子段和，

然後考慮用人類智慧暴力推倒所有情況的轉移方程，

f[i][1][1]:因為要取第i位，又只有一段，所以要麽接這上一段來，要麽就是新的一段

於是有：f[i][1][1]=max(s[i],f[i-1][1][1]);

f[i][1][0]:因為第i位不取，所以對前面的那一段也就沒上面限制了

於是有：f[i][1][0]=max(f[i-1][1][1],f[i-1][1][0]);

f[i][2][0]:因為第i為不取，所以同理，

有 f[i][2][0]=max(f[i-1][2][0],f[i-1][2][1]);

f[i][2][1]:因為要取第i位，所以如果前面就有兩段的話，上一位必須取，否則就有3段了，如果前面只有一段，那麽就沒有限制，

於是：f[i][2][1]=max(f[i-1][2][1],f[i-1][1][1],f[i-1][1][0]);

那麽顯然這是沒有考慮環的情況的，由於段數只有2段，因此我們還是可以暴力枚舉情況解決。
顯然最大ans只可能由有環參與or沒環參與兩種情況得來（也沒別的情況了）

觀察到一個性質，要是對ans的貢獻利用到了環，那麽有：

第一個必須被選，最後一個也必須被選

這種情況在序列上表現為：

分了3段，其中第一段從第一個開始，最後一段以最後一個結束。

因此我們只需要再DP一次考慮必須有環的情況即可，

推式子的思路與上面類似，下面代碼應該寫的挺清楚的，可以自己先推一下

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define R register int
 4 #define AC 200100
 5 #define getchar() *o++
 6 char READ[2000100],*o=READ;
 7 int n,ans;
 8 int s[AC],f[AC][4][2];
 9 /*畢竟還是比較妙的，充分體會到了人類智慧的偉大，
 
10 人工討論會不會繞會來，人工討論每一種取法*/
11 inline int read()
12 {
13     int x=0;char c=getchar();bool z=false;
14     while(c > ‘9‘ || c < ‘0‘) 
15     {
16         if(c == ‘-‘) z=true;
17         c=getchar();
18     }
19     while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘) x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();
20     if(!z) return x;
21     else return -x;
22 }
23 
24 void pre()
25 {
26     n=read();
27     for(R i=1;i<=n;i++) s[i]=read();
28 }
29 
30 void work()
31 {
32     memset(f,128,sizeof(f));
33     for(R i=1;i<=n;i++)
34     {
35         f[i][1][1]=max(s[i],f[i-1][1][1] + s[i]);
36         f[i][1][0]=max(f[i-1][1][1],f[i-1][1][0]);
37         if(i >= 2) 
38         {    
39             f[i][2][0]=max(f[i-1][2][0],f[i-1][2][1]);
40             f[i][2][1]=max(f[i-1][2][1],max(f[i-1][1][0],f[i-1][1][1])) + s[i];
41         }
42     }
43     ans=max(f[n][2][0],f[n][2][1]);
44     memset(f,128,sizeof(f));//重新初始化
45     //因為繞回來後在數列上的直接表現就是分成了3段，所以，，，
46     //3段中第一段必須從第一個開始取，最後一段必須一直取到結尾
47     f[1][1][1]=s[1];
48     for(R i=2;i<=n;i++)
49     {
50         f[i][1][1]=f[i-1][1][1] + s[i];//要是只有一段，還取i的話，一定是取了一整段
51         f[i][1][0]=max(f[i-1][1][0],f[i-1][1][1]);
52         f[i][2][0]=max(f[i-1][2][1],f[i-1][2][0]);
53         f[i][2][1]=max(f[i-1][2][1],max(f[i-1][1][1],f[i-1][1][0])) + s[i];//error。。。取了自己的都要把自己加上啊
54         f[i][3][1]=max(f[i-1][3][1],max(f[i-1][2][1],f[i-1][2][0])) + s[i];//error!!!-1啊啊啊啊
55         //printf("%d = %d %d %d %d %d\n",i,f[i][1][0],f[i][1][1],f[i][2][0],f[i][2][1],f[i][3][1]);
56     }
57     ans=max(ans,f[n][3][1]);//因為繞回來了，所以最後一個必須取
58     printf("%d\n",ans);
59 }
60 
61 int main()
62 {
63 //    freopen("in.in","r",stdin);
64     fread(READ,1,2000000,stdin);
65     pre();
66     work();
67 //    fclose(stdin);
68     return 0;
69 }

題解——環狀最大兩段子段和