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<第一次更新>

<正文>

最大M子段和(51nod 1052)

Description

N個整陣列成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，將這N個數劃分為互不相交的M個子段，並且這M個子段的和是最大的。如果M >= N個數中正數的個數，那麼輸出所有正數的和。
例如：-2 11 -4 13 -5 6 -2，分為2段，11 -4 13一段，6一段，和為26。

Input Format

第1行：2個數N和M，中間用空格分隔。N為整數的個數，M為劃分為多少段。（2 <= N , M <= 5000)
第2 - N+1行：N個整數 (-10^9 <= a[i] <= 10^9)

Output Format

輸出這個最大和

Sample Input

7 
2 
-2 
11 
-4 
13 
-5 
6 
-2

Sample Output

26

解析

還是序列最優值問題，很明顯是線性DP。不過這一次的狀態設定比較裸。

\(f[i][j]\)表示把序列的前\(j\)個元素分為\(i\)段的最大和，其中必須包括第\(j\)個元素。

那麼這就成了一道如何優化DP轉移的問題。最暴力的思路當然是考慮兩種情況：
1.第j個元素和之前的若干元素分入同一個段。
2.第j個元素分入新的一個段。
那麼狀態轉移方程就是：
\[ f[i][j]=max(f[i][j-1]+a[j],max\{f[i-1][k]\}+a[j])(k<j) \]

最後一個問題，爆int，開longlong解決，爆空間，滾動陣列解決。
滾動陣列不再詳細講解。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(long long &k)
{
    long long w=0,x=0;char ch;
    while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    k=(w?-x:x);return;
}
const int N=5000+80,M=5000+80;
long long n,m,a[N],f[2][N]={},Maxf[2][N]={},ans=0;
inline void input(void)
{
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]); 
}
inline void dp(void)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(int j=i;j<=n;j++)
        {
            f[i&1][j]=max(f[i&1][j-1]+a[j],Maxf[i-1&1][j-1]+a[j]);
            Maxf[i&1][j]=max(Maxf[i&1][j-1],f[i&1][j]);
        }
    }
}
int main(void)
{
    input();
    dp();
    printf("%lld\n",Maxf[m&1][n]);
    return 0;
}

考點：決策集合優化。

<後記>