數據結構 平衡二叉樹avl c++
阿新 • • 發佈：2018-05-19
歸納 all AI 例子 大於 樹節點 fin 深度 UC
平衡二叉樹：一顆空樹，或者是具有以下性質的二叉樹
- 左子樹和右子樹都是平衡二叉樹
- 左子樹和右子樹的深度只差不超過1
把二叉樹節點的平衡因子BF(Balance Factor)定義為該節點的左子樹深度減去右子樹深度，則平衡二叉樹所有結點的平衡因子只能是-1，0，1。只要有一個結點的平衡因子絕對值大於一就是不平衡的；
平衡二叉樹的構造
對二叉樹結點做一下定義，bf用來記錄結點的平衡因子
1 typedef struct BSTNode{ 2 int val; 3 int bf; 4 struct BSTNode *lchild, *rchild; 5 }BSTNode, *BSTree;
在插入新結點的過程中，會出現平衡因子絕對值大於2的情況，這時就需要進行一定的條件，讓二叉樹保持平衡。失去平衡後進行的調整規律可以歸納為以下四種
- 單項右旋處理
- 單項左旋處理
- 雙向(先左後右)旋轉處理
- 雙向(先右後左)旋轉處理
單項右旋處理， p為失去平衡的結點。右旋的思路就是
1 void R_Roate(BSTree& p){ 2 BSTree temp = p->lchild; 3 p->lchild = temp->rchild; 4 temp->rchild = p; 5 p = temp; 6 }
向二叉樹中插入結點：先找到結點插入的位置，建立該結點。調整相關結點的平衡因子。若導致結點失去平衡則需要進行選擇，讓二叉樹恢復平衡。 如何找到新結點插入位置？ 如果val的值比當前結點的值小，則繼續在當前結點的左子樹中尋找插入位置。 如果val的值比當前結點的值大，則繼續在當前結點的右子樹中尋找插入位置。直到找到一個空的位置位置。當然如果發現存在相同的val，則表示已經存在於二叉樹中， 插入失敗； 那麽又如何判斷二叉樹是否失去平衡呢？ 當當前結點的平衡因子是0的時候，表示該節點左右兩邊的高度一致，插入一個結點並不會改變當前結點的平衡性，但是會改變當前結點的平衡因子； 當當前結點的平衡因子為1的時候，表示當前節點的左子樹比右子樹高， 若在當前結點左邊插入結點， 必定會導致當前結點的左子樹高度和右子樹高度相差大於2. 引起不平衡。需要進行旋轉來讓二叉樹恢復平衡， 如果在右子樹插入結點，又會讓當前結點的的平衡因子變為0；平衡因子為-1的分析過程和前面類似。 參數taller用來標誌插入新結點是否讓二叉樹高度增加， 可以減少程序的計算量
1 bool InsertAVL(BSTree& T, int val, bool& taller){ 2 if(!T){//插入新結點，樹變高 3 T = (BSTree) malloc(sizeof(BSTNode)); 4 T->val = val; T->bf = EH; T->lchild = T->rchild = NULL; 5 taller = true; 6 }else{ 7 if(val==T->val){taller = false; return false;} //如果val存在於二叉樹中， 則插入失敗 8 if(val<T->val){ //若果val比當前結點的值小，則把新結點插入到當前結點的左子樹中 9 if(!InsertAVL(T->lchild, val, taller)) return false; 10 if(taller){ 11 switch(T->bf){ //插入新結點後要對當前結點的平衡因子做出相應的修改 12 case LH:{LeftBalance(T); taller=false; break;} 13 case EH:{taller = true; T->bf = LH; break;} 14 case RH:{taller = false; T->bf = EH; break;} 15 }} 16 }else{ 17 if(!InsertAVL(T->rchild, val, taller)) return false; 18 if(taller){ 19 switch(T->bf){ 20 case LH:{T->bf = EH; taller = false; break;} 21 case EH:{T->bf = RH; taller = true; break;} 22 case RH:{RightBalance(T); taller = false; break;} 23 }} 24 } 25 } 26 return true; 27 }
全部代碼
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 /* 4 author: Lai XingYu 5 date: 2018/5/18 6 describe: AVL 7 */ 8 #define LH +1 9 #define EH 0 10 #define RH -1 11 12 typedef struct BSTNode{ 13 int val; 14 int bf; 15 struct BSTNode *lchild, *rchild; 16 }BSTNode, *BSTree; 17 18 void R_Roate(BSTree& p){ 19 BSTree temp = p->lchild; 20 p->lchild = temp->rchild; 21 temp->rchild = p; 22 p = temp; 23 } 24 25 void L_Roate(BSTree& p){ 26 BSTree temp = p->rchild; 27 p->rchild = temp->lchild; 28 temp->lchild = p; 29 p = temp; 30 } 31 32 void LeftBalance(BSTree& T){ 33 BSTree temp = T->lchild; 34 switch(temp->bf){ 35 case LH:{T->bf = temp->bf = EH; R_Roate(T); break;} 36 case RH:{ 37 BSTree t = temp->rchild; 38 switch(t->bf){ 39 case LH:{temp->bf = EH; T->bf = RH; break;} 40 case EH:{temp->bf = EH; T->bf = EH; break;} 41 case RH:{temp->bf = LH; T->bf = EH; break;} 42 } 43 t->bf = EH; 44 L_Roate(T->lchild); 45 R_Roate(T); 46 } 47 } 48 } 49 50 void RightBalance(BSTree& T){ 51 BSTree temp = T->rchild; 52 switch(temp->bf){ 53 case LH:{ 54 BSTree t = temp->lchild; 55 switch(t->bf){ 56 case LH:{T->bf = EH; temp->bf = RH; break;} 57 case EH:{T->bf = EH; temp->bf = EH; break;} 58 case RH:{T->bf = LH; temp->bf = EH; break;} 59 } 60 t->bf = EH; 61 R_Roate(T->rchild); 62 L_Roate(T); 63 } 64 case RH:{T->bf = temp->bf = EH; L_Roate(T); break;} 65 } 66 } 67 68 /* 69 taller標誌插入新結點後，樹的高度是否變高 70 如果val在二叉樹中，則插入失敗 71 如果插入結點讓二叉樹失去平衡，則要進行選擇處理，讓二叉樹恢復平衡 72 */ 73 bool InsertAVL(BSTree& T, int val, bool& taller){ 74 if(!T){//插入新結點，樹變高 75 T = (BSTree) malloc(sizeof(BSTNode)); 76 T->val = val; T->bf = EH; T->lchild = T->rchild = NULL; 77 taller = true; 78 }else{ 79 if(val==T->val){taller = false; return false;} //如果val存在於二叉樹中， 則插入失敗 80 if(val<T->val){ //若果val比當前結點的值小，則把新結點插入到當前結點的左子樹中 81 if(!InsertAVL(T->lchild, val, taller)) return false; 82 if(taller){ 83 switch(T->bf){ //插入新結點後要對當前結點的平衡因子做出相應的修改 84 case LH:{LeftBalance(T); taller=false; break;} 85 case EH:{taller = true; T->bf = LH; break;} 86 case RH:{taller = false; T->bf = EH; break;} 87 }} 88 }else{ 89 if(!InsertAVL(T->rchild, val, taller)) return false; 90 if(taller){ 91 switch(T->bf){ 92 case LH:{T->bf = EH; taller = false; break;} 93 case EH:{T->bf = RH; taller = true; break;} 94 case RH:{RightBalance(T); taller = false; break;} 95 }} 96 } 97 } 98 return true; 99 } 100 101 void inorder(BSTree T){ 102 if(!T) return; 103 if(T->lchild) inorder(T->lchild); 104 cout<<T->val<<" "; 105 if(T->rchild) inorder(T->rchild); 106 } 107 int main(){ 108 int t[] = {1,2,3,4,5,6,7}; 109 int f[] = {1,2,5,3,7,6,4}; 110 BSTree T = NULL; 111 bool taller; 112 for(int i=0; i<7; i++) InsertAVL(T, f[i], taller); 113 inorder(T); 114 return 0;}
inorder()遍歷一顆二叉樹，得到的序列一定是單調的。
通過上面的例子可以看到，用相同的數字，不同順序的序列來構建平衡二叉樹，得到的結果是一樣的。
平衡二叉樹可以讓二叉樹的高度保持在Logn; 查找任何一個結點，需要進行的比較次數也不會超過logn。
但是如果構建avl的結點是降序的，會對二叉樹進行多次選擇，帶來的開銷也是非常大的。
數據結構 平衡二叉樹avl c++