[BZOJ3811]瑪裏茍斯

首先有一些前置引理：

1. 由期望的線性性，平方的期望不等於期望的平方，所以求k次方的期望時，需要記錄1~k-1的期望，然後計算增量（OSU！），這個這題沒用上。

2. 線性基是可以變成每個元素都是2的次冪的（rebuild操作，也是求張成空間第k大的做法）。有一個關鍵的結論，張成空間內所有元素（設為k個）的出現概率都為$\frac{1}{2^k}$，也就是所有可能出現的異或和都是等概率的。

3. n個球裏隨機選，選到奇數個的概率和偶數個的概率各為1/2。觀察楊輝三角可發現，偶數行由於對稱顯然成立，奇數行根據上一行得到所以也成立。（顯然n=1除外）。

然後這題就可以做了。

首先k>=3時，可以知道x<=2^21，也就是張成空間最大為2^21，這個可以直接暴力搜索所有元素統計。

這裏可能會爆unsigned long long，根據引理二發現分母是固定的，所以我們只要維護一個帶分數（即一個整數和一個小於分母的分子）即可。

最後答案一定要麽是整數，要麽是.5。

當k=1時，根據引理三可知，如果有一位上所有數均為0，則這一位貢獻為0，否則貢獻為$\frac{1}{2}\times 2^x$，直接做即可。

當k=2時，將異或和每一位拆開來分情況討論，這部分是較為復雜的。

基本上就像下面這樣。

http://www.cnblogs.com/Blue233333/p/8930885.html

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 5 typedef unsigned long long ull;
 6 using namespace std;
 7 
 8 const int N=200010;
 9 int n,K,lp;
10 ull p[66],x;
11 
12 struct P{
13     ull a[66]; int
 
 n;
14     void insert(ull v){
15         for (int i=63;~i && v;i--) if ((v>>i)&1){
16             if (!a[i]) {a[i]=v; n++; break;}
17             v^=a[i];
18         }
19     }
20 }b;
21 
22 void solve1(){
23     ull ans=0;
24     for (int i=0;i<=63;i++){
25         bool flag=0;
26         for (int j=0;j<=63;j++) if ((b.a[j]>>i)&1) flag=1;
27         if (flag) ans+=1ll<<i;
28     }
29     printf("%llu",(ull)(ans/2));
30     if (ans&1) printf(".5");
31 }
32 
33 void solve2(){
34     ull ans=0,res=0;
35     for (int i=0;i<=31;i++)
36         for (int j=0;j<=31;j++){
37             bool c1,c2,c3,c4; c1=c2=c3=c4=0;
38             for (int k=0;k<=31;k++){
39                 if (((b.a[k]>>i)&1)==1 && ((b.a[k]>>j)&1)==1) c1=1;
40                 if (((b.a[k]>>i)&1)==1 && ((b.a[k]>>j)&1)==0) c2=1;
41                 if (((b.a[k]>>i)&1)==0 && ((b.a[k]>>j)&1)==1) c3=1;
42                 if (((b.a[k]>>i)&1)==0 && ((b.a[k]>>j)&1)==0) c4=1;
43             }
44             if (!(c1 || c3) || !(c1 || c2)) continue;
45             if (!(c3 || c2))
46                 if (i+j>0) ans+=(1ll<<(i+j-1)); else res+=2;
47             else
48                 if (i+j>1) ans+=(1ll<<(i+j-2)); else res+=(1<<(i+j));
49         }
50     printf("%llu",ans+(res>>2));
51     if (res&3) printf(".5");
52 }
53 
54 void solve3(){
55     for (int i=0;i<=63;i++) if (b.a[i]) p[lp++]=b.a[i];
56     ull ans=0,res=0;
57     for (int i=0;i<(1<<lp);i++){
58         ull now=0,x=0,y=1;
59         for (int j=0;j<lp;j++) if ((i>>j)&1) now^=p[j];
60         for (int j=0;j<K;j++)
61             x*=now,y*=now,x+=y>>lp,y=y&((1<<lp)-1);
62         res+=y; ans+=x;
63     }
64     printf("%llu",ans+(res>>lp));
65     if (res&((1<<lp)-1)) printf(".5");
66 }
67 
68 int main(){
69     freopen("bzoj3811.in","r",stdin);
70     freopen("bzoj3811.out","w",stdout);
71     scanf("%d%d",&n,&K);
72     for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%llu",&x),b.insert(x);
73     if (K==1) solve1();
74     else if (K==2) solve2(); else solve3();
75     return 0;
76 }

[清華集訓2014]部分題解